Gaussova konstanta

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 (OEIS A014549):

$G={\frac {1}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268416740731862814297327990468\ldots \!\,.$

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\!\,,$

tako, da je:

$G={\frac {1}{2\pi }}\operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)\!\,,$

kjer je $\mathrm {B} \,$ funkcija Β.

Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami

Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:

$\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\!\,.$

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.

Lemniskatini konstanti

S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:

$L_{1}=\pi G={\frac {\pi }{M}}\!\,,$

$L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}={\frac {M}{2}}\!\,,$

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):

$M={\frac {1}{G}}=1,1981402347355922074399224922803238\!\,.$

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto $L_{1}\,$ in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

$\varpi \equiv L_{1}=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}=2,6220575542921198104648395898911194\ldots \!\,,$ (OEIS A062539),

$\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\!\,.$

Algebrsko neodvisnost $\operatorname {\Gamma } (1/4)\,$ in $G\,$ od $\pi \,$ je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.

Druge formule

Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:

$G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })\!\,,$

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

$G={\sqrt[{4}]{32}}\,e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}\!\,.$

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}{\frac {\pi m}{2}}\!\,.$

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos x}}\,\mathrm {d} x\!\,,$

$G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh \pi x}}}\!\,.$

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):

$G=[0;1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots ]\!\,.$

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Glej tudi

• lemniskatna eliptična funkcija
• lemniskatni sinus

Viri

• Chudnovsky, Gregory (1975), »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«, Notices of the AMS, 22: A-486 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Chudnovsky, Gregory (1984), Contributions to the theory of transcendental numbers, Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1500-8 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Schneider, Theodor (1937), »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«, Mathematische Annalen, 113: 1–13 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Gauss's Constant«. MathWorld.