Legendrova funkcija hi: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m+/dp |
m+/dp |
||
Vrstica 12: | Vrstica 12: | ||
: <math> \chi_{\nu} (z) = 2^{-\nu}z\,\Phi (z^{2},\nu,1/2) \!\, . </math> |
: <math> \chi_{\nu} (z) = 2^{-\nu}z\,\Phi (z^{2},\nu,1/2) \!\, . </math> |
||
== Značilnosti == |
|||
=== Posebne vrednosti Legendrove funkcije <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> === |
|||
: <math> \chi_{0} (1) = \lambda (0) = 0 \!\, , </math> kjer je <math>\lambda (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija λ]]. |
|||
: <math> \chi_{2} (i) = i \beta (2) = iG \!\, , </math> kjer je <math>i\, </math> [[imaginarna enota]], <math>\beta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija beta|Dirichletova funkcija β]], <math>G\, </math> pa [[Catalanova konstanta]]. |
|||
: <math> \chi_{2} (-1) = \chi_{2} (1) \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{5} - 2 \right) = \frac{\pi^{2}}{24} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,237559901279 \ldots \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{2} - 1 \right) = \frac{\pi^{2}}{16} - \frac{1}{4} \left( \ln (\sqrt{2} + 1) \right)^{2} = 0,422645425094 \ldots \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{2} (1/2) = 0,515327366694 \ldots \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right) = \chi_{2} (\Phi - 1) = \frac{\pi^{2}}{12} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,648793417991 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\Phi\, </math> [[število zlatega reza]]. |
|||
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{3} - 3/4 \right) = 1,029963554710 \ldots \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{2} (1) = \lambda (2) = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \cdots = \frac{\pi^{2}}{8} = 1,233700550136 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A111003}}. |
|||
: <math> \chi_{3} (1/2) = 0,504905519133 \ldots \!\, . </math> |
|||
: <math> \chi_{3} (1) = \frac{7 \zeta (3)}{8} = 1,051799790264 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\zeta (n)\, </math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija ζ]], {{OEIS|id=A233091}}. |
|||
: <math> \chi_{4} (1) = \lambda(4) = 1 + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{5^{4}} + \cdots = \frac{\pi^{4}}{96} = 1,014678031604 \ldots \!\, . </math> |
|||
In v splošnem: |
|||
: <math> \chi_{n} (1) = \lambda (n) = \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \zeta (n) = |
|||
\left( 1 + \frac{1}{2^{n}-2} \right) \eta (n) \!\, , </math> kjer je <math>\eta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletova funkcija η]]. |
|||
: <math> \chi_{n} (i) = i \beta (n) \!\, . </math> |
|||
== Enakosti == |
== Enakosti == |
||
Vrstica 18: | Vrstica 42: | ||
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\chi_{2} (x) = \frac{{\operatorname{arc\, tanh} \,} x}{x} \!\, . </math> |
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\chi_{2} (x) = \frac{{\operatorname{arc\, tanh} \,} x}{x} \!\, . </math> |
||
== |
== Integralski izrazi == |
||
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, sin} (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta |
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, sin} (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta |
||
Vrstica 31: | Vrstica 55: | ||
* {{citat|last1= Cvijović|first1= Djurdje|last2= Klinowski|first2= Jacek|url= http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1|title= Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments|journal= [[Mathematics of Computation]]|date= 1999|volume= 68|issue= |pages= 1623-1630|ref= harv}} |
* {{citat|last1= Cvijović|first1= Djurdje|last2= Klinowski|first2= Jacek|url= http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1|title= Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments|journal= [[Mathematics of Computation]]|date= 1999|volume= 68|issue= |pages= 1623-1630|ref= harv}} |
||
* {{navedi |
* {{navedi revijo|last1= Cvijović|first1= Djurdje|title= Integral representations of the Legendre chi function|journal= [[J. Math. Anal. Appl.]]|date= 2007|volume=332|issue= |pages= 1056-1062|arxiv= 0911.4731|doi= 10.1016/j.jmaa.2006.10.083|ref= harv}} |
||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
Vrstica 42: | Vrstica 66: | ||
[[Kategorija:Specialne funkcije]] |
[[Kategorija:Specialne funkcije]] |
||
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]] |
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]] |
||
[[Kategorija:1811 v znanosti]] |
|||
[[Kategorija:Adrien-Marie Legendre]] |
[[Kategorija:Adrien-Marie Legendre]] |
Redakcija: 02:21, 19. julij 2015
Legendrova funkcija hi (običajna označba ) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:
Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:
Legendrova funkcija se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q) in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.
Legendrova funkcija je posebni primer Lerchevega transcendenta in je na ta način podana kot:
Značilnosti
Posebne vrednosti Legendrove funkcije
- kjer je Dirichletova funkcija λ.
- kjer je imaginarna enota, Dirichletova funkcija β, pa Catalanova konstanta.
- kjer je število zlatega reza.
- (OEIS A111003).
- kjer je Riemannova funkcija ζ, (OEIS A233091).
In v splošnem:
- kjer je Dirichletova funkcija η.
Enakosti
Integralski izrazi
Viri
- Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1999), »Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments«, Mathematics of Computation, 68: 1623–1630
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč) - Cvijović, Djurdje (2007). »Integral representations of the Legendre chi function«. J. Math. Anal. Appl. Zv. 332. str. 1056–1062. arXiv:0911.4731. doi:10.1016/j.jmaa.2006.10.083.
{{navedi revijo}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč)