Legendrova funkcija hi

Legendrova funkcija hi (običajna označba $\chi _{\nu }(z)\,$) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}\!\,.$

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členi polilogaritma kot:

$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]\!\,.$

Legendrova funkcija $\chi _{\nu }(z)\,$ se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q) in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija $\chi _{\nu }(z)\,$ je posebni primer Lerchevega transcendenta $\Phi (z,s,\alpha )\,$ in je podana kot:

$\chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2)\!\,.$