Elipsa

Za druge pomene glej Elipsa (razločitev).

Elipsa

Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F₁ in F₂ stalna. Elipsa je ena od stožnic.

Slika

Na sliki so:

• a velika polos,
• b mala polos,
• AB velika os (${\overline {AB}}=2a$),
• CD mala os (${\overline {CD}}=2b$),
• točke A, B, C in D so temena elipse in
• F₁ ter F₂ pa gorišči elipse.

Gorišči sta od središča O oddaljeni za $c=e\cdot a={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. Če z r₁ in r₂ označimo razdalji od gorišč F₁ in F₂ do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini $r_{1}=a-ex$ in $r_{2}=a+ex$, tako da velja $r_{1}+r_{2}=2a$

Parametrizacija

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

parametrična oblika enačbe elipse pa je

$x=a\,\cos t$

$y=b\,\sin t$

$0\leq t<2\pi$

Izsrednost (ekscentričnost)

$e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

Polarne koordinate

$r(1+e\cos \theta )=l\,$, kjer je $l={\frac {b^{2}}{a}}$.

Ploščina

$S=\pi ab\,\!.$

Obseg

$o=4aE(e)=2\pi a\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\,\!,$

kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste.

Ramanudžanov približek iz leta 1914:

$o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\,\!.$

Še en približek:

$o\approx \pi {\sqrt {2}}(a^{2}+b^{2})\,\!.$

Kvadratna forma

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo:

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.$

Če forma nima člena z $xy$, torej $b=0$, elipsa ni zavrtena:

$ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.$

Če forma nima člena z $x$, torej $d=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

$ax^{2}+cy^{2}+ey+f=0\,\!.$

Če forma nima člena z $y$, torej $e=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

$ax^{2}+cy^{2}+f=0\,\!.$

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

$A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}$

in

$B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: $|A|\neq 0,\quad |B|>0,\quad {\frac {|A|}{a+c}}<0$

pri čemer je $|A|=acf+2bde-fb^{2}-cd^{2}-ae^{2}$ in $|B|=ac-b^{2}$

Središče elipse

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

$2ax+2by+d=0\,\!,$

$2bx+2cy+e=0\,\!,$

z rešitvijo

$x={\frac {-dc}{2b^{2}+2ac-be}}\,\!$

$y=-{\frac {e+2bx}{2c}}\,\!.$

Kot vrtenja

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

$\varphi ={\frac {1}{2}}\mathrm {ctg} ^{-1}\left({\frac {c-a}{2b}}\right)$. Če je $b=0$ je $\varphi =0^{\circ }$

Glej tudi

• elipsoid (trorazsežni analogon elipse)
• sferoid (elipsoid, nastal kot vrtenina)
• sploščen sferoid
• superelipsa (posplošitev elipse, katere oblika je bolj podobna kvadratu)
• hiperbola
• parabola