Dolžina loka: Razlika med redakcijama

Jump to navigation Jump to search
dodanih 124 zlogov ,  pred 7 leti
m
m/dp/predloga
(→‎Določanje dolžine loka: replace image with SVG version)
m (m/dp/predloga)
 
== Določanje dolžine loka ==
[[Slika:Arc length approximation.svg|thumb|right|200px|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
 
Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi '''rektifikacija krivulje'''. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x)\, </math>, ki ima [[zvezna funkcija|zvezni]] [[odvod]] v intervalu <math> [a, \text { } b]\, </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{dy\mathrm{d} y}{dx\mathrm{d} x}\, </math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \, </math> in <math> x= b \, </math> se določa z:
[[Slika:Arc length approximation.svg|thumb|right|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
 
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, {\rm mathrm{d} x \!\, . </math>
Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z:
 
{{vprašljivo|razdelek|small=left|datum=2014-07-20}}
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, {\rm d} x \!\, . </math>
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta)\, </math>, je dolžina loka podana z:
 
: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \mathrm{\rm d} x^2 + \mathrm{\rm d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{\mathrm{\rm d} x}{\mathrm{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{\rm d} y}{\mathrm{\rm d} t}\right)^2 } \, \mathrm{\rm d} t \!\, . </math>
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z:
 
: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { {\rm d} x^2 + {\rm d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t}\right)^2 } \, {\rm d} t \!\, . </math>
 
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
 
: <math> \mathrm{\rm d} s = \sqrt{\mathrm{\rm d} x^2 + \mathrm{\rm d} y^2} \!\, </math>
 
ali v drugi obliki:
 
: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{\mathrm{\rm d} x}{\mathrm{\rm d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{\mathrm{\rm d} y}{\mathrm{\rm d} t}\bigg)^2} \, \mathrm{\rm d} t \!\, . </math>
 
Kadar je <math> y \, </math> funkcija <math> x \, </math>, lahko vzamemo <math> t =x \, </math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a\, </math> do <math> x=b\, </math>:
 
: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{\mathrm{\rm d} y}{\mathrm{\rm d} x}\bigg)^2} \, \mathrm{\rm d} x \!\, . </math>
== Zunanje povezave ==
 
* {{MathWorld|title=Arc Length|urlname=ArcLength}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka] na MathPage] {{ikona en}}
* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka] na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}
 
[[Kategorija:Krivulje]]

Navigacijski meni