Dolžina loka: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 03:33, 20. julij 2014

Dolžína lóka (oziroma dolžína lóka krivúlje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v premico.

Določanje dolžine loka

Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno funkcijo $f(x)\,$ , ki ima zvezni odvod v intervalu $[a,{\text{ }}b]\,$ , tako da je $f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,$ . Dolžina loka med točkama $x=a\,$ in $x=b\,$ se določa z:

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,\mathrm {d} x\!\,.

Kadar pa je funkcija dana v polarnem koordinatnem sistemu kot $r=f(\theta )\,$ , je dolžina loka podana z:

s=\lim \sum _{a}^{b}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,.

Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti numerično integriranje.

Odvod

Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na neskončno mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.

Na sliki na desni strani lahko uporabimo Pitagorov izrek in dobimo:

\mathrm {d} s={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}\!\,

ali v drugi obliki:

\int _{a}^{b}{\sqrt {{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\bigg )}^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,.

Kadar je $y\,$ funkcija $x\,$ , lahko vzamemo $t=x\,$ , in dobimo za dolžino loka od $x=a\,$ do $x=b\,$ :

\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{2}}}\,\mathrm {d} x\!\,.

Zunanje povezave

Weisstein, Eric Wolfgang. »Arc Length«. MathWorld.
Dolžina loka na MathPage (angleško)
Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College (angleško)

@@ Vrstica 2: / Vrstica 2: @@
 == Določanje dolžine loka ==
+[[Slika:Arc length approximation.svg|thumb|right|200px|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
+Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi '''rektifikacija krivulje'''. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math>f(x)\, </math>, ki ima [[zvezna funkcija|zvezni]] [[odvod]] v intervalu <math>[a, \text { } b]\, </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\, </math>. Dolžina loka med točkama <math>x= a\, </math> in <math>x=b\, </math> se določa z:
-[[Slika:Arc length approximation.svg|thumb|right|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
+: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, \mathrm{d} x \!\, . </math>
-Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z:
+{{vprašljivo|razdelek|small=left|datum=2014-07-20}}
-: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, {\rm d} x \!\, . </math>
+Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math>r = f(\theta)\, </math>, je dolžina loka podana z:
+: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt {\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 } \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
-Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z:
-: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { {\rm d} x^2 + {\rm d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t}\right)^2 } \, {\rm d} t \!\, . </math>
 Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
@@ Vrstica 21: / Vrstica 21: @@
 Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
-: <math> {\rm d} s = \sqrt{{\rm d} x^2 + {\rm d} y^2} \!\, </math>
+: <math> \mathrm{d} s = \sqrt{\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2} \!\, </math>
 ali v drugi obliki:
-: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} t}\bigg)^2} \, {\rm d} t \!\, . </math>
+: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\bigg)^2} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
-Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>:
+Kadar je <math>y\, </math> funkcija <math>x\, </math>, lahko vzamemo <math>t=x\, </math>, in dobimo za dolžino loka od <math>x=a\, </math> do <math>x=b\, </math>:
-: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}\bigg)^2} \, {\rm d} x \!\, . </math>
+: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\bigg)^2} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>
 == Zunanje povezave ==
+* {{MathWorld|title=Arc Length|urlname=ArcLength}}
-* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
-* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka na MathPage] {{ikona en}}
+* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka] na MathPage {{ikona en}}
-* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}
+* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka] na Mathematics (Harvey Mudd College {{ikona en}}
 [[Kategorija:Krivulje]]