Gaussova konstanta: Razlika med redakcijama
m →Sklici |
|||
Vrstica 86: | Vrstica 86: | ||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
* {{MathWorld|urlname=GausssConstant|title=Gauss's Constant}} |
|||
* [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]], [http://mathworld.wolfram.com/GausssConstant.html ''Gaussova konstanta''] na [[MathWorld]] {{ikona en}} |
|||
[[Kategorija:Matematične konstante]] |
[[Kategorija:Matematične konstante]] |
Redakcija: 14:16, 27. junij 2014
Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2 (OEIS A014549):
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
tako, da je:
kjer je Β funkcija beta.
Gaussove konstante ne smemo zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantami
Z Gaussovo konstanto lahko izrazimo funkcijo Γ za argument 1/4:
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstanti
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Druge formule
Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
Glej tudi
Sklici
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ Chudnovsky (1975).
- ↑ Chudnovsky (1984), str. 8.
Viri
- Chudnovsky, Gregory (1975). »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«. Notices of the AMS. Zv. 22. str. A-486.
- Chudnovsky, Gregory (1984). Contributions to the theory of transcendental numbers. Ameriško matematično društvo. ISBN 0-8218-1500-8.
- Schneider, Theodor (1937). »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«. Mathematische Annalen. Zv. 113. str. 1–13. ]