Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Vrstica 60:
Vrstica 60:
== Zunanje povezave ==
== Zunanje povezave ==
* [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]], [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html ''Funkcija gama''] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
* [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]], [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html ''Gamma Function ''] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]]
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]]
Redakcija: 15:45, 19. junij 2014
Graf funkcije Γ na realni premici Absolutna vrednost funkcije Γ v kompleksni ravnini Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini Fúnkcija gáma je v matematiki specialna funkcija , ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila . Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre , funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler . Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven , potem integral :
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t\!\,}
konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\!\,.}
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\!\,}
za vsa naravna števila n . Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z ) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna
števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.
Funkcija gama nima ničel . Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
Γ
(
1
2
)
=
π
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\!\,.}
Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n ; residuum je tam podan kot:
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\!\,.}
Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z , ki niso nepozitivna cela števila :
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\!\,.}
Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta .
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
Γ
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
x
=
Γ
(
x
+
2
)
x
(
x
+
1
)
=
…
=
Γ
(
x
+
k
+
1
)
x
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
…
(
x
+
k
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(x\right)&={\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{x}}={\frac {\Gamma \left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)}}=\ldots \\&={\frac {\Gamma \left(x+k+1\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\ldots \left(x+k\right)}}\!\,,\end{aligned}}}
od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.
Posebne vrednosti funkcije Γ
Γ
(
−
3
/
2
)
=
4
π
3
≈
2
,
363
Γ
(
−
1
/
2
)
=
−
2
π
≈
−
3
,
545
Γ
(
1
/
2
)
=
π
≈
1
,
772
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
/
2
)
=
π
2
≈
0
,
886
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
/
2
)
=
3
π
4
≈
1
,
329
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
/
2
)
=
15
π
8
≈
3
,
323
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
Zunanje povezave 
