Zvezna funkcija: Razlika med redakcijama
m Bot: Migracija 48 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q170058 |
m+ |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Zvézna fúnkcija''' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. [[ |
'''Zvézna fúnkcija''' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. [[graf funkcije|Graf]] zvezne funkcije je nepretrgan. |
||
== Matematična definicija == |
== Matematična definicija == |
||
Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke ''a'' definiramo |
Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke ''a'' definiramo z [[definicija limite (ε, δ)|definicijo epsilon-delta]], ki jo je vpeljal [[Augustin Louis Cauchy]]: |
||
Funkcija ''f'' je v točki ''a'' zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ''ε'' obstaja pozitivno število ''δ'', tako da velja: |
Funkcija ''f'' je v točki ''a'' zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ''ε'' obstaja pozitivno število ''δ'', tako da velja: |
||
:<math>|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon</math> |
: <math> |a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon \!\, . </math> |
||
(Razlaga: če se ''x'' za manj kot ''δ'' razlikuje od ''a'', potem se ''f(x)'' za manj kot ''ε'' razlikuje od ''f(a)''.) |
(Razlaga: če se ''x'' za manj kot ''δ'' razlikuje od ''a'', potem se ''f(x)'' za manj kot ''ε'' razlikuje od ''f(a)''.) |
||
Zveznost lahko definiramo tudi z [[limita funkcije|limito funkcije]]: Funkcija je v točki ''a'' zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.: |
Zveznost lahko definiramo tudi z [[limita funkcije|limito funkcije]]: Funkcija je v točki ''a'' zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.: |
||
:<math>\lim_{x\to a} f(x)=f(a)</math> |
: <math> \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \!\, . </math> |
||
== Zgledi == |
== Zgledi == |
||
Vrstica 19: | Vrstica 22: | ||
* [[potenčna funkcija|Potenčna]] in [[korenska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani. |
* [[potenčna funkcija|Potenčna]] in [[korenska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani. |
||
* [[eksponentna funkcija|Eksponentna]] in [[logaritemska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani. |
* [[eksponentna funkcija|Eksponentna]] in [[logaritemska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani. |
||
* [[ |
* [[trigonometrična funkcija|Trigonometrične funkcije]] so zvezne povsod, kjer so definirane. |
||
[[Slika:Signum.png|thumb|Graf funkcije signum]] |
[[Slika:Signum.png|thumb|right|Graf funkcije signum]] |
||
Za |
Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijo [[signum]] ([[funkcija predznaka|funkcijo predznaka]]), ki je definirana kot: |
||
: <math>\sgn x = \left\{ \begin{matrix} |
: <math>\sgn x = \left\{ \begin{matrix} |
||
-1; & \text{za} & x < 0 \\ |
-1; & \text{za} & x < 0 \\ |
||
Vrstica 29: | Vrstica 32: | ||
Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga. |
Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga. |
||
== Zgodovina == |
|||
Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal [[Bernard Bolzano]] leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije <math>y=f(x)\, </math> upošteval, da neskončno majhni prirastek <math>\alpha\, </math> neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo <math>f(x+\alpha)-f(x)\, </math> odvisne spremenljivke ''y''. (glej npr. ''[[Cours d'Analyse]]'', str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji [[infinitezimala|infinitezimal]] (glej [[mikrozveznost]]). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in [[enakomerna zveznost|enakomerno zveznostjo]] je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. [[Eduard Heine]] je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta]] leta 1854.<ref>{{sktxt|Rusnock|Kerr-Lawson|2005}}.</ref> |
|||
== Opombe in sklici == |
|||
{{sklici|1}} |
|||
== Viri == |
|||
* {{navedi revijo|last1= Rusnock|first1= P.|last2= Kerr-Lawson|first2= A.|title= Bolzano and uniform continuity|journal= [[Historia Mathematica]]|volume= 32|year= 2005|pages= 303–311|issue= 3}} |
|||
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]] |
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]] |
Redakcija: 09:34, 19. junij 2014
Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.
Matematična definicija
Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo z definicijo epsilon-delta, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:
Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:
(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)
Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:
Zgledi
Zgledi zveznih funkcij:
- Vsak polinom je povsod zvezna funkcija (vključno z linearno in kvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
- Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah »kjer je definirana«. Racionalna funkcija ni definirana v polih, zato se graf v polih pretrga.
- Potenčna in korenska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
- Eksponentna in logaritemska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
- Trigonometrične funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.
Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:
Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.
Zgodovina
Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal Bernard Bolzano leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije upošteval, da neskončno majhni prirastek neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo odvisne spremenljivke y. (glej npr. Cours d'Analyse, str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji infinitezimal (glej mikrozveznost). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in enakomerno zveznostjo je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. Eduard Heine je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta leta 1854.[1]
Opombe in sklici
Viri
- Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). »Bolzano and uniform continuity«. Historia Mathematica. Zv. 32, št. 3. str. 303–311.