Gaussova konstanta: Razlika med redakcijama
m m+ |
m m/slog |
||
Vrstica 22: | Vrstica 22: | ||
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math> |
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math> |
||
Ker sta [[pi|π]] in Γ(1/4) [[algebrska neodvisnost|algebrsko neodvisna]], kjer je Γ(1/4) [[iracionalno število]], je Gaussova konstanta [[transcendentno število|transcendentna]]. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 [[matematični dokaz|dokazal]] [[Theodor Schneider]].<ref>{{sktxt|Schneider|1937}}.</ref> |
Ker sta [[pi|''π'']] in Γ(1/4) [[algebrska neodvisnost|algebrsko neodvisna]], kjer je Γ(1/4) [[iracionalno število]], je Gaussova konstanta [[transcendentno število|transcendentna]]. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 [[matematični dokaz|dokazal]] [[Theodor Schneider]].<ref>{{sktxt|Schneider|1937}}.</ref> |
||
=== Lemniskatini konstanti === |
=== Lemniskatini konstanti === |
||
Vrstica 36: | Vrstica 36: | ||
: <math> M = \frac{1}{G} = 1,1981402347355922074399224922803238 \!\, . </math> |
: <math> M = \frac{1}{G} = 1,1981402347355922074399224922803238 \!\, . </math> |
||
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov: |
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ''ϖ'', po analogiji z vrednostima integralov: |
||
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A062539}}, |
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A062539}}, |
Redakcija: 14:22, 10. december 2013
Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2 (OEIS A014549):
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
tako, da je:
kjer je Β funkcija beta.
Gaussove konstante ne smemo zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantami
Z Gaussovo konstanto lahko izrazimo funkcijo Γ za argument 1/4:
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstanti
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Druge formule
Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
Glej tudi
Sklici
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ Chudnovsky (1975).
- ↑ Chudnovsky (1984), str. 8.
Viri
- Chudnovsky, Gregory (1975). »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«. Notices of the AMS. Zv. 22. str. A-486.
- Chudnovsky, Gregory (1984). Contributions to the theory of transcendental numbers. Ameriško matematično društvo. ISBN 0-8218-1500-8.
- Schneider, Theodor (1937). »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«. Mathematische Annalen. Zv. 113. str. 1–13. ]
Zunanje povezave
- Weisstein, Eric Wolfgang, Gaussova konstanta na MathWorld (angleško)