Gaussova konstanta: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m+
m m/slog
Vrstica 22: Vrstica 22:
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math>
: <math> \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, . </math>


Ker sta [[pi|π]] in Γ(1/4) [[algebrska neodvisnost|algebrsko neodvisna]], kjer je Γ(1/4) [[iracionalno število]], je Gaussova konstanta [[transcendentno število|transcendentna]]. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 [[matematični dokaz|dokazal]] [[Theodor Schneider]].<ref>{{sktxt|Schneider|1937}}.</ref>
Ker sta [[pi|''π'']] in Γ(1/4) [[algebrska neodvisnost|algebrsko neodvisna]], kjer je Γ(1/4) [[iracionalno število]], je Gaussova konstanta [[transcendentno število|transcendentna]]. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 [[matematični dokaz|dokazal]] [[Theodor Schneider]].<ref>{{sktxt|Schneider|1937}}.</ref>


=== Lemniskatini konstanti ===
=== Lemniskatini konstanti ===
Vrstica 36: Vrstica 36:
: <math> M = \frac{1}{G} = 1,1981402347355922074399224922803238 \!\, . </math>
: <math> M = \frac{1}{G} = 1,1981402347355922074399224922803238 \!\, . </math>


Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ''ϖ'', po analogiji z vrednostima integralov:


: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A062539}},
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A062539}},

Redakcija: 14:22, 10. december 2013

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2 (OEIS A014549):

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

tako, da je:

kjer je Β funkcija beta.

Gaussove konstante ne smemo zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami

Z Gaussovo konstanto lahko izrazimo funkcijo Γ za argument 1/4:

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]

Lemniskatini konstanti

S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

(OEIS A062539),

Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]

Druge formule

Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Glej tudi

Sklici

Viri

  • Chudnovsky, Gregory (1975). »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«. Notices of the AMS. Zv. 22. str. A-486.
  • Chudnovsky, Gregory (1984). Contributions to the theory of transcendental numbers. Ameriško matematično društvo. ISBN 0-8218-1500-8.
  • Schneider, Theodor (1937). »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«. Mathematische Annalen. Zv. 113. str. 1–13. ]

Zunanje povezave