Gaussova konstanta: Razlika med redakcijama
m m/slog |
|||
Vrstica 47: | Vrstica 47: | ||
ter tudi s hitro konvergentno [[neskončna vrsta|neskončno vrsto]]: |
ter tudi s hitro konvergentno [[neskončna vrsta|neskončno vrsto]]: |
||
: <math> G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2 \!\, . </math> |
: <math> G = \sqrt[4]{32} \, e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2 \!\, . </math> |
||
Gaussova konstanta je podana tudi z [[neskončni produkt|neskončnim produktom]]: |
Gaussova konstanta je podana tudi z [[neskončni produkt|neskončnim produktom]]: |
||
: <math> G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 |
: <math> G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \frac{\pi m}{2} \!\, . </math> |
||
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov: |
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov: |
Redakcija: 13:23, 25. november 2013
Gaussova konstanta (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2:
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
tako, da je
kjer je B funkcija beta.
Gaussove konstante ne smemo zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantami
Z Gaussovo konstanto lahko izrazimo funkcijo Γ za argument 1/4:
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstanti
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Druge formule
Formula za G z Jacobijevo funkcijo θ je:
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je:
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
Glej tudi
Sklici
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ Chudnovsky (1975).
- ↑ Chudnovsky (1984), str. 8.
Viri
- Chudnovsky, Gregory (1975). »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«. Notices of the AMS. Zv. 22. str. A-486.
- Chudnovsky, Gregory (1984). Contributions to the theory of transcendental numbers. Ameriško matematično društvo. ISBN 0-8218-1500-8.
- Schneider, Theodor (1937). »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«. Mathematische Annalen. Zv. 113. str. 1–13. ]
Zunanje povezave
- Weisstein, Eric Wolfgang, Gaussova konstanta na MathWorld (angleško)