Trikotnik

Za druge pomene glej Trikotnik (razločitev).

Trikotnik

Trikótnik je eden osnovnih geometrijskih likov. Trikotnik je dvorazsežen lik s tremi oglišči in s tremi stranicami, ki so odseki treh premic. Običajno z izrazom trikotnik mislimo na ravninski lik. Na sferi govorimo npr. o sfernem trikotniku.

Vrste trikotnikov

Trikotnike lahko razdelimo glede na dolžine stranic. Tako imamo:

• enakostranični trikotnik: vse stranice so enako dolge. Enakostranični trikotnik je tudi enakokotni, saj so vsi trije notranji koti enaki 60°,
• enakokraki trikotnik: dve stranici sta enako dolgi. V enakostraničnem trikotniku sta dva notranja kota enaka,
• raznostranični trikotnik: vse tri stranice so različno dolge in vsi notranji koti različno veliki.

Trikotnike lahko razdelimo tudi glede na velikost največjega notranjega kota. Imamo:

• pravokotni trikotnik: en notranji kot je enak 90° (pravi kot). Stranica nasproti pravega kota je hipotenuza in je najdaljša stranica v trikotniku. Drugi dve stranici sta kateti,
• topokotni trikotnik: en notranji kot je večji od 90° (topi kot),
• ostrokotni trikotnik: vsi notranji koti so manjši od 90° (ostri koti).

notranji koti skupaj merijo 180˙zunanji koti pa merijo skupaj 360˙

Višina

Višina na stranico je oddaljenost oglišča od nosilke nasprotne stranice.

$v_{a}=c\sin \beta =b\sin \gamma \!\,,$

$v_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha \!\,,$

$v_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta \!\,.$

Obseg

Obseg je skupna dolžina vseh treh stranic:

$o=a+b+c\!\,.$

V nekaterih zvezah se uporablja tudi polovični obseg (polobseg), ki je označen s črko s:

$s={\frac {o}{2}}={\frac {a+b+c}{2}}\!\,.$

Ploščina

Ploščina trikotnika je enaka polovični ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta dve od trikotnikovih stranic.

$p={\frac {av_{a}}{2}}={\frac {bv_{b}}{2}}={\frac {cv_{c}}{2}}\!\,.$

Lahko jo izračunamo tudi s Heronovo enačbo:

$p={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}\!\,.$

Če poznamo vse tri notranje kote ali vse tri stranice ter polmer včrtanega ali očrtanega kroga (gl. enega nadaljnjih razdelkov), jo lahko izračunamo kot:

$p=2r^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\rho \left(a+b+c\right)}{2}}={\frac {abc}{4r}}\!\,.$

Če so koordinate točk A, B in C v pravokotnem koordinatnem sistemu enake $A\left(x_{A},y_{A}\right)$, $B\left(x_{B},y_{B}\right)$ in $C\left(x_{C},y_{C}\right)$, se ploščina izračuna kot:

$p=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}\left|x_{A}\left(y_{B}-y_{C}\right)+x_{B}\left(y_{C}-y_{A}\right)+x_{C}\left(y_{A}-y_{B}\right)\right|$

Negativna vrednost izraza pod absolutno vrednostjo pomeni, da je usmerjenost trikotnika negativna.

Usmerjenost trikotnika

Če si oglišča A, B in C v tem zaporedju sledijo v smeri, ki je nasprotna smeri urinega kazalca, je trikotnik pozitivno usmerjen, v nasprotnem primeru je usmerjen negativno.

Notranji koti

V vsakem ravninskem trikotniku je vsota notranjih kotov enaka iztegnjenemu kotu:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{o}=\pi \!\,.$

Trikotniška neenakost

V vsakem neizrojenem ravninskem trikotniku velja trikotniška neenakost, ki pravi, da je vsota dolžin katerihkoli dveh stranic večja od dolžine tretje stranice. Torej:

$a+b>c\!\,,$

$a+c>b\!\,,$

$b+c>a\!\,.$

Tri posebne točke trikotnika

Posebne točke trikotnika: središče očrtanega in včrtanega kroga, težišče

Trikotnik ima tri klasične posebne točke:

• središče očrtanega kroga (na zgornji sliki modre barve) je v sečišču simetral vseh treh stranic. Očrtana krožnica vsebuje vsa tri oglišča

• središče včrtanega kroga (na zgornji sliki rdeče barve) je v sečišču simetral vseh treh kotov. Včrtana krožnica se dotika vseh treh stranic, vendar jih ne seka

• težišče (tudi centroid) (na zgornji sliki zelene barve) je v sečišču premic, ki povezujejo oglišča z razpolovišči nasprotnih stranic.

Polmer očrtanega in včrtanega kroga

Polmer očrtanega kroga, lahko izračunamo tako:

$r={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}\!\,.$

Polmer včrtanega kroga pa tako:

$\rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}=s\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}\!\,.$

Za razdaljo d med središčema očrtanega in vrčrtanega kroga velja Eulerjeva enačba:

$d^{2}=r^{2}-2r\rho \!\,$

Druge točke trikotnika

Višinska točka je v sečišču višin vseh treh stranic.

Razpolovišča stranic in končne točke višin ležijo na krogu, ki se imenuje krog devetih točk ali Eulerjev krog. Njegov polmer je enak polovici polmera očrtanega kroga in se dotika včrtanega kroga v Feuerbachovi točki in treh zunanjih krogov.

Težišče, središče očrtanega kroga, višinska točka in središče kroga devetih točk so kolinearne in ležijo na Eulerjevi premici. Središče kroga devetih točk leži na polovici med središčem včrtanega in očrtanega kroga. Razdalja med težiščem T in središčem očrtanega kroga $S_{O}$ je enaka polovici razdalje med težiščem in višinsko točko V in velja:

${\overline {TS_{O}}}={\frac {\overline {TV}}{2}}\!\,.$

• Gergonnova točka
• Nagelova točka

Izreki v trikotniku

Zveze med stranicami in koti urejajo naslednji izreki:

• kosinusni izrek
• sinusni izrek
• tangensni izrek

Drugi izreki v zvezi s trikotniki:

- trikotnik in prečnica:

• Menelajev izrek (poznal ga je že Evklid)