Erlangenski program

Erlangenski program je program raziskovanja geometrije, ki ga je zastavil Felix Christian Klein leta 1872 v nastopnem predavanju na Univerzi v Erlangnu. Predavanje je objavil pod naslovom Primerjalna obravnava novih geometrijskih raziskovanj (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen), vendar se je med matematiki bolj prijelo ime Erlangenski program. V tem programu je Klein objavil svoje odgovore na problem različnih geometrij, ki so se takrat pojavile ob klasični evklidski geometriji.

V tem času je bila že znana hiperbolična geometrija Lobačevskega pa tudi projektivna in afina geometrija; svoje poglede na geometrijo je objavil že tudi Riemann. Med matematiki je bila odprta razprava o tem, ali se različne geometrije med sabo dopolnjujejo ali izključujejo.

Klein je ugotovil, da projektivna geometrija predstvlja najsplošnejši okvir velike množice geometrij. Te geometrije danes imenujemo homogene (tudi »ravne«) geometrije, ker imajo v okolici vsake točke enake lastnosti (za razliko od geometrij na ukrivljenih ploskvah, kjer so lastnosti lahko od točke do točke drugačne).

Lastnosti projektivne geometrije določa grupa vseh projektivnih preslikav. Ostale geometrije lahko dobimo znotraj projektivne geometrije tako, da se omejimo na neko podgrupo grupe vseh projektivnih preslikav. Taka podgrupa potem ohranja določene lastnosti, ki jih imenujemo invariante. Te lastnosti tvorijo temelj nove geometrije.

Na ta način lahko ustvarimo znotraj projektivne geometrije modele afine, evklidske, hiperbolične in eliptične geometrije pa tudi mnogih drugih (omenimo samo geometrijo Minkowskega, ki je zelo pomembna za posebno teorijo relativnosti).

Temelj posamične geometrije je ustrezna grupa preslikav, ki v tej geometriji pomenijo toge premike. Če lahko en lik (telo) preslikamo na drugega s takšno preslikavo, rečemo, da sta skladna. Osnovni lastnosti (invarianti), ki ju te preslikave ohranjajo, sta razdalja in kot. Klein je razdaljo med dvema točkama in kot med dvema premicama definiral s pomočjo dvorazmerja. V tej definiciji nastopata še dva prosta parametra, zato lahko táko grupo preslikav izberemo na različne načine in kot rezultat dobimo različne geometrije.