Poincaréjeva grupa

Poincaréjeva grupa je v fiziki in matematiki grupa togih premikov psevdoevklidskega prostora Minkowskega $\mathbb {R} ^{1,3}$. Grupo je leta 1905 vpeljal Henri Poincaré. Je 10-razsežna nekompaktna Liejeva grupa. Abelova grupa vzporednih premikov (translacij) je normalna podgrupa, Lorentzova grupa pa je podgrupa, stabilizator točke. Polna Poincaréjeva grupa je tako afina grupa Lorentzove grupe, semidirektni produkt translacij in Lorentzovih transformacij:

$\mathbb {R} ^{1,3}\rtimes O(1,3)\!\,.$

Poincaréjeva grupa sovpada z grupo vseh realnih transformacij vektorjev četvercev $x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}$ oblike:

$x'^{\mu }=\lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }\!\,,$

kjer je $\lambda _{\nu }^{\mu }$ matrika Lorentzovih transformacij, $a^{\mu }$ pa vektor četverec vzporednih premikov. Element Poincaréjeve grupe se običajno označuje z $\{a,\Lambda \}$, zakon kompozicije pa ima obliko:

$\{a_{1},\lambda _{1}\}\{a_{2},\lambda _{2}\}=\{a_{1}+\lambda _{1}a_{2},\lambda _{1}\lambda _{2}\}\!\,.$

Poincaréjeva grupa je pomembna v posebni teoriji relativnosti saj je grupa njene globalne simetrije. V soglasju s Kleinovim Erlangenskim programom geometrijo prostora Minkowskega določa Poincaréjeva grupa: prostor Minkowskega je homogeni prostor za Poincaréjevo grupo.