Obseg (algebra): Razlika med redakcijama
m robot Spreminjanje: es:Cuerpo (matemáticas) |
- wrong interwiki |
||
Vrstica 54: | Vrstica 54: | ||
[[Kategorija:Algebrske strukture]] |
[[Kategorija:Algebrske strukture]] |
||
[[ |
[[Těleso (algebra)]] |
||
[[de:Schiefkörper]] |
|||
[[bg:Поле (алгебра)]] |
|||
[[en:Division ring]] |
|||
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
|||
[[ |
[[es:Anillo de división]] |
||
[[ |
[[et:Kaldkorpus]] |
||
[[ |
[[fr:Corps (mathématiques)]] |
||
[[he:חוג עם חילוק]] |
|||
[[el:Σώμα (άλγεβρα)]] |
|||
[[hu:Ferdetest]] |
|||
[[en:Field (mathematics)]] |
|||
[[ |
[[it:Corpo (matematica)]] |
||
[[ |
[[ja:斜体 (数学)]] |
||
[[ |
[[nl:Delingsring (Ned) / Lichaam (Be)]] |
||
[[pl:Pierścień z dzieleniem]] |
|||
[[fa:میدان (ریاضی)]] |
|||
[[ |
[[ru:Тело (алгебра)]] |
||
[[ |
[[scn:Corpu (matimàtica)]] |
||
[[sv:Skevkropp]] |
|||
[[he:שדה (מבנה אלגברי)]] |
|||
[[ |
[[uk:Тіло (алгебра)]] |
||
[[ |
[[zh:除环]] |
||
[[id:Medan (matematika)]] |
|||
[[io:Feldo (algebro)]] |
|||
[[it:Campo (matematica)]] |
|||
[[ja:体 (数学)]] |
|||
[[ko:체 (수학)]] |
|||
[[nl:Lichaam (Ned) / Veld (Be)]] |
|||
[[no:Kropp (matematikk)]] |
|||
[[pl:Ciało (matematyka)]] |
|||
[[pms:Camp (matemàtica)]] |
|||
[[pt:Corpo (matemática)]] |
|||
[[ro:Corp (matematică)]] |
|||
[[ru:Поле (алгебра)]] |
|||
[[scn:Campu (matimatica)]] |
|||
[[sk:Pole (algebra)]] |
|||
[[sr:Поље (математика)]] |
|||
[[sv:Kropp (algebra)]] |
|||
[[tr:Cisim (cebir)]] |
|||
[[uk:Поле (алгебра)]] |
|||
[[ur:میدان]] |
|||
[[vi:Trường (đại số)]] |
|||
[[zh:域 (數學)]] |
|||
[[zh-classical:域 (代數)]] |
|||
[[zh-min-nan:Thé]] |
Redakcija: 15:38, 10. julij 2012
Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.
Definicija
Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti a − b = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.
Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)
Kratka definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:
- (O, +, ·) je kolobar
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Daljša definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):
- komutativnost za seštevanje: a + b = b + a
- asociativnost za seštevanje: a + (b + c) = (a + b) + c
- obstaja nevtralni element za seštevanje (označimo ga z oznako 0): a + 0 = 0 + a = a
- poljubni element a ima nasprotni element −a, tako da velja: a + (−a) = (−a) + a = 0
- asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c
- distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:
- a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
- (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Vrste obsegov
Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.
Zgledi
Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.
Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.