Seznam integralov eksponentnih funkcij: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Nov prispevek |
m Nov prispevek |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Seznam integralov |
'''Seznam integralov eksponentnih funkcij''' vsebuje [[integral|integrale]] [[eksponentna funkcija|eksponentnih funkcij]]. |
||
== Nedoločeni integrali == |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\int\ln ax\;dx = x\ln ax - x</math> |
|||
: <math>\int |
: <math>\int e^{x}\;\mathrm{d}x = e^{x}</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int a^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c\cdot \ln a} a^{cx}</math> za <math>a > 0,\ a \ne 1</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int xe^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)</math> |
||
: <math>\int \ |
: <math>\int x^2 e^{cx}\;\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)</math> |
||
: <math>\int x^ |
: <math>\int x^n e^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \mathrm{d}x = \left( \frac{\partial}{\partial c} \right)^n \frac{e^{cx}}{c} </math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int\frac{e^{cx}}{x}\; \mathrm{d}x = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int\frac{e^{cx}}{x^n}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right) \qquad\mbox{(za }n\neq 1\mbox{)}</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\ln x\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\sin bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\cos bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\sin^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;\mathrm{d}x</math> |
||
: <math>\int |
: <math>\int e^{cx}\cos^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;\mathrm{d}x</math> |
||
: |
:<math>\int x e^{c x^2 }\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}</math> |
||
: |
:<math>\int e^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x)</math> (<math>\operatorname{erf}</math> je [[funkcija napake]]) |
||
: |
:<math>\int xe^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2} </math> |
||
: |
:<math>\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; \mathrm{d}x= -\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}\,\frac{-x+\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)</math> |
||
: |
:<math>\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x \quad \mbox{velja za } n > 0, </math> |
||
::where <math> c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ . </math> |
|||
: |
:<math> {\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_m \,dx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x) \qquad\mbox{(za }x> 0\mbox{)}}</math> |
||
:: where <math>a_{mn}=\begin{cases}1 &\text{kadar je } n = 0, \\ \frac{1}{n!} &\text{kadar je } m=1, \\ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1} &\text{v ostalih primerih } \end{cases}</math> |
|||
:: in <math>\Gamma(x,y)</math> je [[gama funkcija]] |
|||
: |
:<math>\int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \,</math> kadar je <math>b \neq 0</math>, <math>\lambda \neq 0</math> in <math>ae^{\lambda x} + b > 0 \,.</math> |
||
: |
:<math>\int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right] \,</math> kadar je <math>a \neq 0</math>, <math>\lambda \neq 0</math> in <math>ae^{\lambda x} + b > 0 \,</math>. |
||
== Določeni intagrali == |
|||
: <math>\int e^x \left( \frac{1}{\ln x}- \frac{1}{x\ln^2 x} \right)\;dx = \frac{e^x}{\ln x} </math> |
|||
: <math> |
|||
\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x = |
|||
\int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x = |
|||
\int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x = |
|||
\frac{a-b}{\ln a - \ln b}</math> za <math>a > 0,\ b > 0,\ a \ne b</math>, kar je [[logaritemska sredina]] |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{|a|} \quad (a<0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math> ([[Gaussov integral]]) |
|||
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)</math> (glej [[integral Gaussove funkcije]]) |
|||
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x= b \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> |
|||
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = |
|||
\begin{cases} |
|||
\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\ |
|||
\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{integer}, a>0) \\ |
|||
\frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{integer}, a>0) |
|||
\end{cases} </math> (!! pomeni [[dvojna fakulteta|dvojno fakulteto]]) |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = |
|||
\begin{cases} |
|||
\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\ |
|||
\frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\ |
|||
\end{cases}</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math> |
|||
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (<math>I_{0}</math> je modificirana [[Besselova funkcija]] prve vrste) |
|||
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)</math> |
|||
== Glej tudi == |
== Glej tudi == |
||
Vrstica 54: | Vrstica 100: | ||
* [[seznam integralov iracionalnih funkcij]] |
* [[seznam integralov iracionalnih funkcij]] |
||
* [[seznam integralov trigonometričnih funkcij]] |
* [[seznam integralov trigonometričnih funkcij]] |
||
* [[seznam integralov |
* [[seznam integralov logaritemskih funkcij]] |
||
* [[seznam integralov Gaussovih funkcij]] |
* [[seznam integralov Gaussovih funkcij]] |
||
[[Kategorija:Integrali]] |
[[Kategorija:Integrali]] |
||
[[Kategorija:Matematični seznami]] |
[[Kategorija:Matematični seznami]] |
||
[[ar:ملحق:قائمة تكاملات الدوال |
[[ar:ملحق:قائمة تكاملات الدوال الأسية]] |
||
[[bs:Spisak integrala |
[[bs:Spisak integrala eksponencijalnih funkcija]] |
||
⚫ | |||
[[bg:Таблица с интеграли на логаритмични функции]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[es:Anexo:Integrales de funciones exponenciales]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[eo:Listo de integraloj de logaritmaj funkcioj]] |
|||
[[fa:فهرست انتگرال تابعهای نمایی]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[fa:فهرست انتگرالهای توابع لگاریتمی]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[hr:Popis integrala |
[[hr:Popis integrala eksponencijalnih funkcija]] |
||
[[id:Daftar integral dari fungsi |
[[id:Daftar integral dari fungsi eksponensial]] |
||
[[it:Tavola degli integrali indefiniti di funzioni |
[[it:Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali]] |
||
[[hu:Exponenciális függvények integráljainak listája]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ja:対数関数の原始関数の一覧]] |
|||
⚫ | |||
[[km:តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត]] |
|||
[[km:តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]] |
|||
⚫ | |||
[[pt:Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais]] |
|||
⚫ | |||
[[ru:Список интегралов от |
[[ru:Список интегралов от экспоненциальных функций]] |
||
[[sk:Zoznam integrálov exponenciálnych funkcií]] |
|||
[[sq:Lista e integraleve të funksioneve logaritmike]] |
|||
[[sr:Списак интеграла |
[[sr:Списак интеграла експоненцијалних функција]] |
||
[[sh:Popis integrala |
[[sh:Popis integrala eksponencijalnih funkcija]] |
||
[[tr:Üstel fonksiyonların integralleri]] |
|||
[[uk:Таблиця інтегралів |
[[uk:Таблиця інтегралів експоненціальних функцій]] |
||
[[vi:Danh sách tích phân với hàm |
[[vi:Danh sách tích phân với hàm mũ]] |
||
[[zh: |
[[zh:指数函数积分表]] |
||
[[Kategorija:Integrali]] |
|||
[[Kategorija:Matematični seznami]] |
Redakcija: 23:06, 29. februar 2012
Seznam integralov eksponentnih funkcij vsebuje integrale eksponentnih funkcij.
Nedoločeni integrali
Nedoločeni integrali so primitivne funkcije. Aditivno konstanto lahko dodamo na desni strani vsakega izmed obrazcev, tukaj so te konstante izpuščene zaradi enostavnosti.
- za
- ( je funkcija napake)
-
- where
-
- where
- in je gama funkcija
- kadar je , in
- kadar je , in .
Določeni intagrali
- za , kar je logaritemska sredina
- (glej integral Gaussove funkcije)
- (!! pomeni dvojno fakulteto)
- ( je modificirana Besselova funkcija prve vrste)