Torus

Torus

Ko se razdalja do osi vrtenja manjša, krožni torus postane vretenasti torus, ki pa se nazadnje izrodi v sfero.

Tórus (ali svítek) je rotacijska ploskev, ki nastane z vrtenjem krožnice okrog osi, ki je koplanarna s krožnico. V večini primerov predpostavljamo, da se os ne dotika krožnice. Telo, ki pri tem nastane, se imenuje tóroid.

Rod torusa je enak 1.

Torus je zmnožek dveh krožnic. V prikazanem primeru se zavrti se rdeča krožnica zavrti okoli osi, ki jo določa vijoličn akrožnica. R je polmer vijolične krožnice, r je polmer rdeče krožnice.

Krožni torus

Rogati torus

Vretenasti torus

Spodnje polovice treh vrst torusov

Geometrija

Torus lahko definiramo v parametrični obliki

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

kjer je

• $u,v\,$ parametra (v intervalu $[0,2\pi )\,$)
• $R\,$ razdalja od središča cevi torusa do središča torusa
• $r\,$ polmer cevi torusa

Razdalji $R\,$ in $r\,$ imenujemo tudi "veliki polmer" in "mali polmer".

Implicitna oblika enačbe torusa v kartezičnem koordinatnem sistemu za torus, ki je radialno simetričen na z-os je

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!$

ali v drugačni obliki, če je $f(x,y,z)=0\,$:

$f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}\,$.

Če odstranimo kvadratni koren, dobimo enačbo četrte stopnje

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$.

Površina in prostornina torusa

Površina torusa je enaka

$P=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

Prostornina pa je

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)\,$.

Topologija

Topološko je torus zaprta ploskev, ki je zmnožek dveh krožnic S¹ × S¹. Takšen topološki torus se imenuje tudi Cliffordov torus.

n-kratni torusi

dvojni torus

trojni torus

V teoriji ploskev ima izraz n-torus drugačen pomen. Namesto, da bi to pomenilo zmnožek n krožnic, to pomeni povezano vsoto n dvorazsežnih torusov.

Običajni torus je na ta način 1-torus, 2-torus imenujemo dvojni torus, 3-torus je trojni torus in tako dalje. Vedno pa lahko rečemo, da je n-torus orientabilna ploskev

Toroidni poliedri

Poliedri s topološkim tipom torusa se imenujejo toroidni poliedri.

Večrazsežni torusi

Torus lahko posplošimo na večje število razsežnosti. Na ta način dobimo n-razsežne toruse. Običajni torus je zmnožek prostorov dveh krožnic. N-razsežni torus (imenujemo ga tudi n-torus) pa je zmnožek $n\,$ krožnic, kar lahko zapišemo kot

$\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}\,$.

Torus, ki smo ga opisali zgoraj, je dvorazsežni torus, enorazsežni torus je kar krožnica.

Glej tudi

• algebrski torus
• Cliffordov torus
• kompleksni torus
• Dupinova ciklida
• eliptična krivulja
• odsek torusa
• toroid

Zunanje povezave

• Torus na MathWorld (angleško)
• Prostornina torusa (angleško)
• Nekatere lastnosti torusa (angleško)