Helikoid

Helikoid z α=1, -1≤ρ≤1 in -π≤θ≤π.

Helikoid je za ravnino in katenoidom tretja znana minimalna ploskev.

Njeno ime izhaja iz podobnosti z vijačnico ( iz grške besede έλικας/έλιξ kar pomeni spirala). Vsaki točki na helikoidu pripada vijačnica, ki teče skozi to točko.

Helikoid je odkril francoski matematik in inženir Jean Baptiste Meusnier (1754 – 1793) v letu 1776.

Helikoid je premonosna ploskev. To pomeni, da je za vsako točko na ploskvi možno najti premico, ki teče skozi njo. Belgijski matematik Eugène Charles Catalan je v letu 1842 dokazal, da sta helikoid in ravnina edini minimalni premonosni ploskvi .

Ploskev helikoida dobimo tudi, če se končno dolga daljica giblje vzdolž osi in se pri tem vrti okoli nje. Helikoid in katenoid sta člana helikoidno-katenoidne družine minimalnih ploskev.

Helikoid ima obliko Arhimedovega vijaka. Opišemo ga lahko z parametrično enačbo v kartezičnem koordinatnem sistemu

$x=\rho \cos(\alpha \theta ),\$

$y=\rho \sin(\alpha \theta ),\$

$z=\theta ,\$

kjer lahko $\rho$ in $\theta$ zavzameta vrednosti od negativne do pozitivne neskončnosti in $a$ je konstanta. Kadar je $a$ pozitiven je helikoid desnosučen (glej sliko), sicer je levosučen.

V cilindričnem koordinatnem sistemu je enačba helikoida enaka

$z=c\theta$ .

V kartezičnih koordinatah pa je enačba helikoida

${y \over x}=\tan({z \over c})$

Helikoid ima glavno ukrivljenost enako $\pm 1/(1+\rho ^{2})\$. Vsota teh dveh vrednosti nam da srednjo ukrivljenost (je enaka nič, ker je helikoid minimalna ploskev). Zmnožek nam pa da Gaussovo ukrivljenost, ki je za helikoid enaka

${\frac {c^{2}}{(c^{2}+u^{2})^{2}}}$

Helikoid je homeomorfen z ravnino $\mathbb {R} ^{2}$.

Helikoid in katenoid sta lokalno izometrični ploskvi.

Animacija, ki kaže spremembo helikoida v katenoid.

Glej tudi

• Dinijeva ploskev
• prava konoida
• premonosna ploskev

Zunanje povezave

• Helikoid na WolframAlpha (angleško)
• Helikoid na PlanethMath (angleško)
• Helikoid kot minimalna ploskev (angleško)