Ortonormalnost: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
JAnDbot (pogovor | prispevki)
m r2.5.2) (robot Spreminjanje: de:Orthogonalsystem
ZéroBot (pogovor | prispevki)
m r2.7.1) (robot Dodajanje: no:Ortonormal
Vrstica 54: Vrstica 54:
[[es:Ortonormal]]
[[es:Ortonormal]]
[[fr:Base orthonormale]]
[[fr:Base orthonormale]]
[[no:Ortonormal]]
[[pl:Ortonormalność]]
[[pl:Ortonormalność]]
[[pt:Ortonormalidade]]
[[pt:Ortonormalidade]]

Redakcija: 23:53, 18. januar 2012

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

Definicija

Z označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

je ortogonalna, če in samo, če velja

kjer je

  • Kroneckerjev delta
  • notranji produkt v prostoru .

Lastnosti

  • če je skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja

Primeri

Dvorazsežni Kartezični koordinatni sistem

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta in . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

  • skalarni produkt je enak 0 ali
  • norma vektorja je enaka 1 ali
  • norma vektorja je enaka 1 ali .

To lahko zapišemo kot

  1. .

Kar pomeni, da je . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Postopek ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov postopek. Običajno se to izvaja v Evklidskem prostoru z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna baza

Glavni članek: Standardna baza.

Standardna baza v koordinatnem prostoru je kjer je

.
.

Katerakoli dva vektorja in , ki imata sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.

Zunanje povezave