Besslova funkcija: Razlika med redakcijama
m r2.7.1) (robot Dodajanje: et:Besseli võrrand |
m slog |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Besslove funkcije''' [béslove fúnkcije] (pogosteje '''Bésselove f.''') so družina [[transcendentne funkcije|transcendentnih]] [[funkcija|funkcij]], ki rešijo Besslovo [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]: |
'''Besslove funkcije''' [béslove fúnkcije] (pogosteje '''Bésselove f.''') so družina [[transcendentne funkcije|transcendentnih]] [[funkcija|funkcij]], ki rešijo Besslovo [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]: |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
Besslove funkcije je prvi definiral švicarski matematik [[Daniel Bernoulli]] in jih poimenoval po [[Friedrich Wilhelm Bessel|Friedrichu Wilhelmu Besslu]]. |
|||
== Uporabnost Besslovih funkcij == |
== Uporabnost Besslovih funkcij == |
||
Vrstica 20: | Vrstica 18: | ||
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.]] |
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.]] |
||
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot: |
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot: |
||
: <math> |
|||
J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)} |
: <math> J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)} </math> |
||
</math> |
|||
Če <math>\nu </math> ni [[celo število]], funkciji <math>J_{\nu }\left( x\right) </math> in |
Če <math>\nu </math> ni [[celo število]], funkciji <math>J_{\nu }\left( x\right) </math> in |
||
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko: |
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko: |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
Kjer sta <math>c_{1}</math> in <math>c_{2}</math> odvisna od začetnih pogojev. |
Kjer sta <math>c_{1}</math> in <math>c_{2}</math> odvisna od začetnih pogojev. |
||
Vrstica 36: | Vrstica 31: | ||
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja: |
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja: |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
[[Slika:BesselY plot.svg|thumb|350px|right|Graf Besslove funkcije druge vrste za red ν = 0,1,2.]] |
[[Slika:BesselY plot.svg|thumb|350px|right|Graf Besslove funkcije druge vrste za red ν = 0,1,2.]] |
||
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'': |
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'': |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka: |
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka: |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
Redakcija: 05:52, 1. januar 2012
Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:
Besslove funkcije je prvi definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Wilhelmu Besslu.
Uporabnost Besslovih funkcij
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:
- prevajanje toplote ali difuzija v valju
- nihanje krožno vpete tanke membrane (npr. pri bobnu)
- elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, cosinus) v pravokotni geometriji.
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.
Besslove funkcije in
Besslova funkcija prve vrste reda se izračuna kot:
Če ni celo število, funkciji in nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:
Kjer sta in odvisna od začetnih pogojev.
Če je celo število, se izkaže, da sta funkciji in linearno odvisni, saj velja:
V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda , ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni enaka: