Dolžina loka: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Luckas-bot (pogovor | prispevki)
m r2.7.1) (robot Spreminjanje: en:Arc length
m dopolnitev
Vrstica 1: Vrstica 1:
'''Dolžina loka''' (oziroma dolžina loka krivulje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v premico.
'''Dolžína lóka''' (oziroma '''dolžína lóka krivúlje''') je [[dolžina]] vzdolž [[krivulja|krivulje]] med dvema danima [[točka]]ma. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v [[premica|premico]].


== Določanje dolžine loka ==
== Določanje dolžine loka ==
Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math> tako, da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>.
Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z
: <math>s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx </math>.


Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z:
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z

:<math>s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt </math>.
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx \!\, . </math>

Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z:

: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt \!\, . </math>


Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].


[[Slika:Arclength-approx.png|thumb|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
[[Slika:Arclength-approx.png|thumb|right|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
== Odvod ==
== Odvod ==

Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.


Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo
Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
:<math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}.\, </math>
ali v drugi obliki
:<math>\int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt,</math>


: <math> ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} \!\, </math>
Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>

:<math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}\,dx,</math>.
ali v drugi obliki:

: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt \!\, . </math>

Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>:

: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}\,dx \!\, . </math>
== Zunanje povezave ==
== Zunanje povezave ==

* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka na [[MathWorld]]] {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka na MathPage] {{ikona en}}
* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka na MathPage] {{ikona en}}
* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}
* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}

Redakcija: 12:38, 6. oktober 2011

Dolžína lóka (oziroma dolžína lóka krivúlje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v premico.

Določanje dolžine loka

Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno funkcijo , ki ima zvezni odvod v intervalu , tako da je . Dolžina loka med točkama in se določa z:

Kadar pa je funkcija dana v polarnem koordinatnem sistemu kot , je dolžina loka podana z:

Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti numerično integriranje.

Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo Pitagorov izrek.

Odvod

Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na neskončno mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.

Na sliki na desni strani lahko uporabimo Pitagorov izrek in dobimo:

ali v drugi obliki:

Kadar je funkcija , lahko vzamemo , in dobimo za dolžino loka od do :

Zunanje povezave