Zvezna funkcija

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo s takoimenovano epsilon-delta definicijo, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

$|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon$

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

Zgledi

Zgledi zveznih funkcij:

• Vsak polinom je povsod zvezna funkcija (vključno z linearno in kvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
• Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah »kjer je definirana«. Racionalna funkcija ni definirana v polih, zato se graf v polih pretrga.
• Potenčna in korenska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Eksponentna in logaritemska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Trigonometrijske funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.

Graf funkcije signum

Za primer nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1;&{\text{za}}&x<0\\0;&{\text{za}}&x=0\\1;&{\text{za}}&x>0\end{matrix}}\right.$

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.