Desetiški ulomek

Desetíški ulómek je ulomek, katerega imenovalec je potenca števila 10. Decimalne ulomke po navadi izražamo brez imenovalcev, kjer decimalno ločilo vnesemo v števec (in pri tem, če je potrebno, dodano vodeče ničle) na mesto od desne, kar odgovarja potenci 10 imenovalca. Na primer desetiške ulomke 8/10, 8/10, 83/100, 83/1000, 8/10000 in 2364/100000 zapišemo kot 0,8, 0,83, 0,083, 0,0008 in 0,02364. Tako npr. velja:

${\frac {2364}{100000}}=0,02364={\frac {0}{10}}+{\frac {2}{10^{2}}}+{\frac {3}{10^{3}}}+{\frac {6}{10^{4}}}+{\frac {4}{10^{5}}}\!\,.$

Decimalno ločilo je v slovenščini decimalna vejica, v angleško govorečih in mnogij azijskih državah pa se rabita pika (.) ali dvignjena pika (·).

Ulomek z imenovalcem, katerega delitelja sta le 2 in 5, lahko z razširjanjem spremenimo v desetiški ulomek in nato zapišemo v decimalnem zapisu. Na primer:

${\frac {7}{20}}={\frac {7\cdot 5}{20\cdot 5}}={\frac {35}{10^{2}}}=0,35\!\,.$

Celi del desetiškega števila je del levo od decimalne vejice (glej tudi funkcijo celi del). Del desno od decimalne vejice pa je decimalni del, kjer števke imenujemo decimalke. Takšna števila imenujemo desetiška ali decimalna števila. Če decimalni del obravnavamo kot samostojno število, spredaj običajno napišemo 0. Še posebej pri negativnih številih moramo razlikovati med decimalnim delom zapisa in decimalnim delom števila samega, saj ima drugi lastni decimalni znak. Po navadi ima desetiško število, katerega absolutna vrednost je manjša od 1 vodilno ničlo - npr. 0,12345.

Sledilne ničle za decimalno vejico niso nujno potrebne, čeprav se jih v znanosti, tehniki in statistiki lahko obdrži, da se prikaže zahtevana natančnost ali stopnja zaupanja pri točnosti števila. Čeprav sta števili 0,080 in 0,08 številsko enaki, v tehniki pomeni 0,080 meritev z napako do enega dela na dve tisočici (±0,0005), 0,08 pa meritev z napako do enega dela v dveh stoticah.

Če je m/n ulomek (racionalno število, algebrsko število stopnje 1) v okrajšani obliki ($\operatorname {G} (m,n)=1$), je njegova perioda:

• (a) končna, če je $n=2^{x}5^{y}$, za nenegativna cela x in y,
• (b) sčasoma periodična (po i-ti števki za decimalno vejico), če je n deljiv z 2 ali 5,
• (c) čisto periodična (za decimalno vejico), če je n praštevilo ali pa ni deljiv ne z 2, ne s 5 ($\operatorname {G} (10,n)=1$).

dolžina periode L je lahko:

• (c1) $L=n-1$, tedaj je L vedno soda, razen pri številu 2.
• (c2) delitelj $n-1$.

Desetiški ulomki s periodičnimi decimalkami so neskončni desetiški ulomki. Periode po navadi označimo s črto nad decimalkami.

$1/2=0,5\!\,$

$1/20=0,05\!\,$

$1/5=0,2\!\,$

$1/50=0,02\!\,$

$1/4=0,25\!\,$

$1/40=0,025\!\,$

$1/25=0,04\!\,$

$1/8=0,125\!\,$

$1/125=0,008\!\,$

$1/10=0,1\!\,$

$1/3=0,333333\ldots =0,{\overline {3}}\!\,$

$1/9=0,111111\ldots =0,{\overline {1}}\!\,$

$100-1=99=9\cdot 11\!\,$

$1/11=0.090909\ldots =0,{\overline {09}}\!\,$

$1000-1=9\cdot 111=27\cdot 37\!\,$

$1/27=0,037037037\ldots 0,{\overline {037}}\!\,$

$1/37=0,027027027\dots =0,{\overline {027}}\!\,$

$1/111=0,009009009\ldots =0,{\overline {009}}\!\,$

$1/4242=0,0002357378595002357\ldots =0,{\overline {002357378595}}\!\,$

$1/423=0,{\overline {0023640661938534278959810874704491725768321513}}\!\,$

$1/81=0,012345679012\ldots =0,{\overline {012345679}}\!\,$

Imenovalci, ki so ciklična števila, dajo najdaljše možne periode, na primer: 7, 13 ali 61:

$1/7=0,{\overline {142857}}\!\,$

$1/13=0,{\overline {76923}}\!\,$

$1/61=0,{\overline {16393442622950819672131147540983606557377049180327868852459}}\!\,$

Nekatere značilnosti neskončnih desetiških ulomkov s sodimi periodami obravnava Midyjev izrek. Decimalni zapis iracionalnih števil je vedno neperiodičen in nikoli končen. Na primer:

$1/{\sqrt {2}}=0,70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833\ldots \!\,$

$1/e=0,36787944117144232159552377016146086744581113103176783450783\ldots \!\,$

$1/\pi =0,31830988618379067153776752674502872406891929148091289749533\ldots \!\,$

Glej tudi

• enotski ulomek

Viri

• Matematika (/ [prevod Gorazd Lešnjak] izd.). Tržič: Učila International. 2002. COBISS 115125248. ISBN 961-233-417-X.

• Grasselli, Jože (2008). Enciklopedija števil. Ljubljana: DMFA - založništvo. COBISS 243138304. ISBN 978-961-212-209-6.