Obseg (algebra): Razlika med redakcijama
m slog |
m r2.5) (robot Dodajanje: bg, id, pms, scn Odstranjevanje: cs Spreminjanje: ar, da, fr, he, sv, tr, uk, vi, zh |
||
Vrstica 56: | Vrstica 56: | ||
[[Kategorija:Algebrske strukture]] |
[[Kategorija:Algebrske strukture]] |
||
[[ar:حقل رياضي]] |
|||
[[ |
[[bg:Поле (алгебра)]] |
||
⚫ | |||
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
||
[[ |
[[da:Legeme (algebra)]] |
||
[[da:Legeme (matematik)]] |
|||
[[de:Körper (Algebra)]] |
[[de:Körper (Algebra)]] |
||
[[en:Field (mathematics)]] |
|||
⚫ | |||
[[el:Σώμα (άλγεβρα)]] |
[[el:Σώμα (άλγεβρα)]] |
||
[[ |
[[en:Field (mathematics)]] |
||
[[eo:Korpo (algebro)]] |
[[eo:Korpo (algebro)]] |
||
[[es:Cuerpo (matemática)]] |
|||
⚫ | |||
[[fa:میدان (ریاضی)]] |
[[fa:میدان (ریاضی)]] |
||
[[ |
[[fi:Kunta (matematiikka)]] |
||
[[fr:Corps commutatif]] |
|||
[[zh-classical:域 (代數)]] |
|||
[[ |
[[he:שדה (מבנה אלגברי)]] |
||
[[hr:Polje (matematika)]] |
[[hr:Polje (matematika)]] |
||
⚫ | |||
[[id:Medan (matematika)]] |
|||
[[io:Feldo (algebro)]] |
[[io:Feldo (algebro)]] |
||
[[it:Campo (matematica)]] |
[[it:Campo (matematica)]] |
||
[[he:שדה (מתמטיקה)]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ja:体 (数学)]] |
[[ja:体 (数学)]] |
||
[[ko:체 (수학)]] |
|||
⚫ | |||
[[no:Kropp (matematikk)]] |
[[no:Kropp (matematikk)]] |
||
[[pl:Ciało (matematyka)]] |
[[pl:Ciało (matematyka)]] |
||
[[pms:Camp (matemàtica)]] |
|||
[[pt:Corpo (matemática)]] |
[[pt:Corpo (matemática)]] |
||
[[ro:Corp (matematică)]] |
[[ro:Corp (matematică)]] |
||
[[ru:Поле (алгебра)]] |
[[ru:Поле (алгебра)]] |
||
[[scn:Corpu (matimàtica)]] |
|||
[[sk:Pole (algebra)]] |
[[sk:Pole (algebra)]] |
||
[[sr:Поље (математика)]] |
[[sr:Поље (математика)]] |
||
[[ |
[[sv:Kropp (algebra)]] |
||
[[ |
[[tr:Cisim (cebir)]] |
||
[[ |
[[uk:Поле (алгебра)]] |
||
[[ |
[[vi:Trường (đại số)]] |
||
[[ |
[[zh:域 (數學)]] |
||
[[zh:域 ( |
[[zh-classical:域 (代數)]] |
||
⚫ |
Redakcija: 00:42, 22. januar 2011
Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.
Definicija
Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti a − b = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.
Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)
Kratka definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:
- (O, +, ·) je kolobar
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Daljša definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):
- komutativnost za seštevanje: a + b = b + a
- asociativnost za seštevanje: a + (b + c) = (a + b) + c
- obstaja nevtralni element za seštevanje (označimo ga z oznako 0): a + 0 = 0 + a = a
- poljubni element a ima nasprotni element −a, tako da velja: a + (−a) = (−a) + a = 0
- asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c
- distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:
- a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
- (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Vrste obsegov
Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.
Zgledi
Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.
Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.
Množica matrik dimenzije n×n na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo obrnljive matrike dimenzije n×n in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.