Vzporednost: Razlika med redakcijama
m robot Spreminjanje: ru:Параллельность |
m robot Spreminjanje: no:Parallell (geometri) |
||
Vrstica 58: | Vrstica 58: | ||
[[ko:평행]] |
[[ko:평행]] |
||
[[nl:Evenwijdig]] |
[[nl:Evenwijdig]] |
||
[[no:Parallell]] |
[[no:Parallell (geometri)]] |
||
[[pl:Równoległość]] |
[[pl:Równoległość]] |
||
[[pt:Retas paralelas]] |
[[pt:Retas paralelas]] |
Redakcija: 17:55, 9. oktober 2010
Vzporédnost je ena od temeljnih relacij, ki opisujejo medsebojno lego geometrijskih objektov (premic, ravnin).
Premici p in q sta vzporedni, če obe ležita v isti ravnini in nimata nobene skupne točke. Zaradi sistematičnosti pravimo, da je poleg tega vsaka premica vzporedna tudi sama sebi. Vzporednost premic p in q označimo: p || q.
Premica in ravnina (v običajnem trirazsežnem prostoru) sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke.
Dve ravnini (v običajnem trirazsežnem prostoru) sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke. Tudi v tem primeru še dodatno pravimo, da je vsaka ravnina vzporedna sama sebi.
Lastnosti vzporednosti
V običajni evklidski geometriji velja aksiom o vzporednici, ki pravi, da skozi poljubno točko T poteka točno ena vzporednica k dani premici p. V evklidski geometriji ima vzporednost naslednje lastnosti:
- refleksivnost: vsaka premica je sebi vzporedna:
- p || p
- simetričnost: če je p vzporedna q, potem je tudi q vzporedna p:
- p || q q || p
- tranzitivnost: če je p vzporedna q, ta pa je vzporedna r, potem je tudi p vzporedna r:
- p || q q || r p || r
To pomeni, da je vzporednost premic ekvivalenčna relacija, ki deli množico vseh premic na ekvivalenčne razrede - skupine premic, ki imajo isto smer. V projektivni geometriji pravimo, da se te premice sekajo v neskončnosti - vsak snop vzporednih premic določa svojo točko v neskončnosti.
Nadaljnje lastnosti vzporednic p in q (v običajni evklidski geometriji):
- Vse točke s premice p so enako oddaljene od premice q (in obratno).
- Če vzporednici sekamo s tretjo premico, potem ta seka obe vzporednici pod istim kotom.
- Skozi poljubno točko (na eni od premic) poteka skupna pravokotnica na p in q.
Če vzporedni premici v kartezični ravnini zapišemo z enačbama in , potem sta smerna koeficienta premic enaka: .
Neevklidske gometrije
Spremenjen aksiom o vzporednosti je temelj neevklidskih geometrij - geometrijskih sistemov, v katerih veljajo nekoliko drugačne lastnosti kot v običajni evklidski geometriji.
V geometriji Lobačevskega poteka skozi dano točko T več kot ena vzporednica k dani premici p.
V Riemannovi geometriji pa vzporednic sploh ni - skozi točko T, torej ne poteka nobena vzporednica k dani premici p.