Vzporednost: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m robot Spreminjanje: ru:Параллельность
m robot Spreminjanje: no:Parallell (geometri)
Vrstica 58: Vrstica 58:
[[ko:평행]]
[[ko:평행]]
[[nl:Evenwijdig]]
[[nl:Evenwijdig]]
[[no:Parallell]]
[[no:Parallell (geometri)]]
[[pl:Równoległość]]
[[pl:Równoległość]]
[[pt:Retas paralelas]]
[[pt:Retas paralelas]]

Redakcija: 17:55, 9. oktober 2010

Vzporédnost je ena od temeljnih relacij, ki opisujejo medsebojno lego geometrijskih objektov (premic, ravnin).

Če vzporednici sekamo s tretjo premico, potem ta seka obe vzporednici pod istim kotom.

Premici p in q sta vzporedni, če obe ležita v isti ravnini in nimata nobene skupne točke. Zaradi sistematičnosti pravimo, da je poleg tega vsaka premica vzporedna tudi sama sebi. Vzporednost premic p in q označimo: p || q.

Premica in ravnina (v običajnem trirazsežnem prostoru) sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke.

Dve ravnini (v običajnem trirazsežnem prostoru) sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke. Tudi v tem primeru še dodatno pravimo, da je vsaka ravnina vzporedna sama sebi.

Lastnosti vzporednosti

V običajni evklidski geometriji velja aksiom o vzporednici, ki pravi, da skozi poljubno točko T poteka točno ena vzporednica k dani premici p. V evklidski geometriji ima vzporednost naslednje lastnosti:

  • refleksivnost: vsaka premica je sebi vzporedna:
p || p
  • simetričnost: če je p vzporedna q, potem je tudi q vzporedna p:
p || q q || p
  • tranzitivnost: če je p vzporedna q, ta pa je vzporedna r, potem je tudi p vzporedna r:
p || q q || r p || r

To pomeni, da je vzporednost premic ekvivalenčna relacija, ki deli množico vseh premic na ekvivalenčne razrede - skupine premic, ki imajo isto smer. V projektivni geometriji pravimo, da se te premice sekajo v neskončnosti - vsak snop vzporednih premic določa svojo točko v neskončnosti.

Nadaljnje lastnosti vzporednic p in q (v običajni evklidski geometriji):

  • Vse točke s premice p so enako oddaljene od premice q (in obratno).
  • Če vzporednici sekamo s tretjo premico, potem ta seka obe vzporednici pod istim kotom.
  • Skozi poljubno točko (na eni od premic) poteka skupna pravokotnica na p in q.

Če vzporedni premici v kartezični ravnini zapišemo z enačbama in , potem sta smerna koeficienta premic enaka: .

Neevklidske gometrije

Glavni članek: Neevklidska geometrija.

Spremenjen aksiom o vzporednosti je temelj neevklidskih geometrij - geometrijskih sistemov, v katerih veljajo nekoliko drugačne lastnosti kot v običajni evklidski geometriji.

V geometriji Lobačevskega poteka skozi dano točko T več kot ena vzporednica k dani premici p.

V Riemannovi geometriji pa vzporednic sploh ni - skozi točko T, torej ne poteka nobena vzporednica k dani premici p.

Glej tudi