Razsežnostna analiza: Razlika med redakcijama
m robot Dodajanje: ht:Analiz dimansyonèl |
m dp/Janez stric |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Razsežnostna analiza''' (tudi '''dimenzijska analiza''') je orodje s katerim si v [[fizika|fiziki]], [[kemija|kemiji]], [[tehnika|tehniki]] in delno v [[ekonomija|ekonomiji]] pomagamo razumeti |
'''Razsežnostna analiza''' (tudi '''dimenzijska analiza''') je orodje s katerim si v [[fizika|fiziki]], [[kemija|kemiji]], [[tehnika|tehniki]] in delno v [[ekonomija|ekonomiji]] pomagamo razumeti značilnosti in obliko [[fizikalna količina|fizikalnih količin]]. S pomočjo razsežnostne analize število spremenljivk zmanjšamo na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem poenostavimo problem. |
||
Velikost vsake fizikalne količine lahko opišemo kot kombinacijo osnovnih merskih enot, ki določajo [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]], [[čas]], [[naboj]] in [[temperatura|temperaturo]], ki jih imenujemo |
Velikost vsake fizikalne količine lahko opišemo kot kombinacijo osnovnih [[merska enota|merskih enot]], ki določajo [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]], [[čas]], [[električni naboj]] in [[temperatura|temperaturo]], ki jih imenujemo [[razsežnost]]i (prava razsežnost pripada samo dolžini - prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot označujemo z '''M''', '''L''', '''T''', '''Q''' in '''Θ'''. Tako npr. za [[hitrost]], ki jo lahko [[meritev|merimo]] v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno lahko razsežnot [[sila|sile]] napišemo kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>. |
||
Tako n. pr. za [[hitrost]], ki jo lahko merimo v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno lahko razsežnot [[sila|sile]] napišemo kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>. |
|||
Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnot, [[kilogram]] pa je merska enota z |
Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnot, [[kilogram]] pa je merska enota z razsežnostjo [[masa|mase]] (oznaka '''M'''). |
||
== Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah == |
== Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah == |
||
Vrstica 18: | Vrstica 17: | ||
|[[čas]]||<math>T \,</math> |
|[[čas]]||<math>T \,</math> |
||
|- |
|- |
||
|[[naboj]]||<math>Q \,</math> |
|[[električni naboj]]||<math>Q \,</math> |
||
|- |
|- |
||
|[[temperatura]]||<math> \Theta \,</math> |
|[[temperatura]]||<math> \Theta \,</math> |
||
Vrstica 69: | Vrstica 68: | ||
|} |
|} |
||
== Izvedba |
== Izvedba razsežnostne analize == |
||
Razsežnostna analiza se izvaja na osnovi [[Buckinghamov izrek π|Buckinghamovega izreka π]]. |
|||
Analiza se izvaja v več korakih. |
Analiza se izvaja v več korakih. |
||
*1. korak |
*1. korak |
||
Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavimo, da je neodvisna spremenljivka <math> N \,</math> odvisna od <math>n \,</math> spremenljivk, ki jih označimo s <math>q \,</math>. |
Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavimo, da je neodvisna spremenljivka <math> N \,</math> odvisna od <math>n \,</math> spremenljivk, ki jih označimo s <math>q \,</math>. |
||
: <math> N = f(q_1, \ldots, q_n) \,</math>. |
: <math> N = f(q_1, \ldots, q_n) \,</math>. |
||
Določimo tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko <math> N \,</math>. To število označimo z <math> m \,</math>. |
Določimo tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko <math> N \,</math>. To število označimo z <math> m \,</math>. Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot: |
||
Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost. |
|||
⚫ | |||
Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
kjer so |
kjer so |
||
* <math> \pi_i \,</math> |
* <math> \pi_i \,</math> brezrazsežne količine |
||
To pomeni, da je |
To pomeni, da je: |
||
: <math> \pi_1 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math> |
: <math> \pi_1 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math> |
||
: <math> \pi_2 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math> |
: <math> \pi_2 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math> |
||
: …. |
: …. |
||
kjer so <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> … [[racionalno število|racionalna števila]]. |
kjer so <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> … [[racionalno število|racionalna števila]]. |
||
Skupaj imamo <math>n-m \,</math> enačb. |
Skupaj imamo <math>n-m \,</math> enačb. |
||
*2. korak |
*2. korak |
||
Na levi strani enačb imamo |
Na levi strani enačb imamo brezrazsežne količine (posamezni <math> \pi \,</math>). To pomeni, da imajo vse razsežnosti [[potenciranje|stopnjo potence]] ˙(eksponent) enako 0. |
||
*3. korak |
*3. korak |
||
Zamenjajmo vse količine, ki nastopajo v enačbah za <math> \pi \,</math> z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimo izraze za razsežnosti iz tabele). |
Zamenjajmo vse količine, ki nastopajo v enačbah za <math> \pi \,</math> z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimo izraze za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake. |
||
Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake. |
|||
*4. korak |
*4. korak |
||
Tako dobimo sistem enačb, ki ga moramo rešiti. Z rešitvijo enačb v resnici dobimo vrednosti za <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk <math> q_n \,</math> v analiziranem izrazu za fizikalno količino. |
Tako dobimo sistem enačb, ki ga moramo rešiti. Z rešitvijo enačb v resnici dobimo vrednosti za <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk <math> q_n \,</math> v analiziranem izrazu za fizikalno količino. |
||
== |
== Zgled == |
||
Kot |
Kot zgled vzemimo [[nihalo]] brez trenja ([[matematično nihalo]]), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5[[kotna stopinja|°]]. Dolžina nihala je enaka <math>l \,</math>, [[masa]] nihala je enaka <math> m \,</math>, [[težni pospešek]] označimo z <math>g \,</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki ga označimo s <math> \pi \,</math>, ki je enak: |
V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki ga označimo s <math> \pi \,</math>, ki je enak: |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Iz tega dobimo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti [[potenciranje|eksponent]] enak nič) |
Iz tega dobimo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti [[potenciranje|eksponent]] enak nič) |
||
Vrstica 120: | Vrstica 128: | ||
: za čas T: <math>-2 \cdot x_2 + x_4 = 0</math> |
: za čas T: <math>-2 \cdot x_2 + x_4 = 0</math> |
||
Za rešitve sistema enačb dobimo |
Za rešitve sistema enačb dobimo: |
||
⚫ | |||
<math>x_2 =1/2 \,</math>, </br> |
|||
<math>x_1 = -1/2 \,</math>, </br> |
|||
<math>x_3 = 0 \,</math> |
|||
: <math>x_4 = 1 \,</math>, |
|||
: <math> |
: <math>x_2 =1/2 \,</math>, |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math> |
: <math>x_3 = 0 \,</math> |
||
To nam za <math> \pi \,</math> da vrednost: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math> \sqrt{g / l} \cdot t = \mathrm{konst.} \!\, . </math> |
|||
⚫ | |||
: <math>t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g} \!\, . </math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
* [http://www.roymech.co.uk/Related/Fluids/Dimension_Analysis.html Pregled razsežnosti fizikalnih količin] {{ikona en}} |
* [http://www.roymech.co.uk/Related/Fluids/Dimension_Analysis.html Pregled razsežnosti fizikalnih količin] {{ikona en}} |
||
* [http://chemeng.iisc.ernet.in/kumaran/chap1.pdf Opis razsežnostne analize] {{ikona en}} |
* [http://chemeng.iisc.ernet.in/kumaran/chap1.pdf Opis razsežnostne analize] {{ikona en}} |
||
Vrstica 139: | Vrstica 154: | ||
* [http://www.aerostudents.com/files/aerodynamicsA/dimensionalAnalysis.pdf Uporaba razsežnostne analize] {{ikona en}} |
* [http://www.aerostudents.com/files/aerodynamicsA/dimensionalAnalysis.pdf Uporaba razsežnostne analize] {{ikona en}} |
||
* [http://neohumanism.org/d/di/dimensional_analysis.html Opis razsežnostne analize] {{ikona en}} |
* [http://neohumanism.org/d/di/dimensional_analysis.html Opis razsežnostne analize] {{ikona en}} |
||
[[Kategorija:Meroslovje]] |
[[Kategorija:Meroslovje]] |
Redakcija: 19:05, 28. junij 2010
Razsežnostna analiza (tudi dimenzijska analiza) je orodje s katerim si v fiziki, kemiji, tehniki in delno v ekonomiji pomagamo razumeti značilnosti in obliko fizikalnih količin. S pomočjo razsežnostne analize število spremenljivk zmanjšamo na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem poenostavimo problem.
Velikost vsake fizikalne količine lahko opišemo kot kombinacijo osnovnih merskih enot, ki določajo dolžino, maso, čas, električni naboj in temperaturo, ki jih imenujemo razsežnosti (prava razsežnost pripada samo dolžini - prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot označujemo z M, L, T, Q in Θ. Tako npr. za hitrost, ki jo lahko merimo v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost L/T ali LT -1. Podobno lahko razsežnot sile napišemo kot ML/T 2.
Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnot, kilogram pa je merska enota z razsežnostjo mase (oznaka M).
Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah
V fizikalnih količinah uporabljamo naslednje osnovne razsežnosti:
količina | oznaka razsežnosti |
---|---|
dolžina | |
masa | |
čas | |
električni naboj | |
temperatura | |
množina snovi | |
svetilnost |
Nekatere fizikalne količine iz mehanike in njihove razsežnosti
fizikalna količina | oznaka | enota | izraz za razsežnost |
---|---|---|---|
masa | kg | ||
dolžina | , , | m | |
čas | s | ||
frekvenca | Hz ( =1/s) | ||
kotna hitrost | 1/s | ||
hitrost | m/s | ||
pospešek | m/s² | ||
gibalna količina | m kg/s | ||
gostota | kg/m³ | ||
sila | N ( = kg •m/s²) | ||
specifična teža | N/m³ | ||
tlak, nateg | N/m² | ||
modul elastičnosti | N/m² | ||
energija | J ( = m²•kg/s²) | ||
moč | W ( = m²•kg/s³) | ||
dinamična viskoznost | N•s/m² | ||
kinematična viskoznost | m²/s |
Izvedba razsežnostne analize
Razsežnostna analiza se izvaja na osnovi Buckinghamovega izreka π.
Analiza se izvaja v več korakih.
- 1. korak
Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavimo, da je neodvisna spremenljivka odvisna od spremenljivk, ki jih označimo s .
- .
Določimo tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko . To število označimo z . Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot:
To lahko v skladu s Buckinhamovim izrekom π zapišemo kot:
kjer so
- brezrazsežne količine
To pomeni, da je:
- ….
kjer so , … racionalna števila.
Skupaj imamo enačb.
- 2. korak
Na levi strani enačb imamo brezrazsežne količine (posamezni ). To pomeni, da imajo vse razsežnosti stopnjo potence ˙(eksponent) enako 0.
- 3. korak
Zamenjajmo vse količine, ki nastopajo v enačbah za z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimo izraze za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake.
- 4. korak
Tako dobimo sistem enačb, ki ga moramo rešiti. Z rešitvijo enačb v resnici dobimo vrednosti za , itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk v analiziranem izrazu za fizikalno količino.
Zgled
Kot zgled vzemimo nihalo brez trenja (matematično nihalo), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5°. Dolžina nihala je enaka , masa nihala je enaka , težni pospešek označimo z
Za matematično nihalo velja:
V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki ga označimo s , ki je enak:
Vrednost za π je brez razsežnosti. Zamenjajmo posamezne količine z izrazi za razsežnost in dobimo:
Iz tega dobimo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti eksponent enak nič)
- za dolžino L:
- za maso M:
- za čas T:
Za rešitve sistema enačb dobimo:
- ,
- ,
- ,
To nam za da vrednost:
oziroma:
Pravi izraz za nihajni čas matematičnega nihala pa je:
Zunanje povezave
- Pregled razsežnosti fizikalnih količin (angleško)
- Opis razsežnostne analize (angleško)
- Primeri razsežnostne analize (angleško)
- Uporaba razsežnostne analize (angleško)
- Opis razsežnostne analize (angleško)