Algebrsko število: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 22:34, 16. december 2009

Algébrsko števílo (zastarelo algebrajsko število) je vsako realno ali kompleksno število, ki je rešitev neke polinomske enačbe oblike:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=0\!\,,

kjer je n ≥ 1 in so koeficienti a_i cela števila (ali enakovredno racionalna števila), ne vsa enaka 0.

Števila, ki niso algebrska, imenujemo transcendentna števila.

Množica realnih algebrskih števil je števna, medtem ko je množica vseh realnih števil neštevna, kar pomeni, da je transcendentnih realnih števil dosti več kot algebrskih. Enako velja tudi v kompleksnem.

Zgledi algebrskih števil

vsa racionalna števila so algebrska. Zapisana v obliki ulomka $a/b$ zadoščajo definiciji algebrskih števil, saj je $x=a/b$ rešitev enačbe $bx-a$
tudi nekatera iracionalna števila so algebrska, npr. števila, ki jih lahko zapišemo s koreni:

{\sqrt {2}},~{\sqrt[{3}]{5}},~{\frac {1+{\sqrt {7}}}{6}},~{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~\ldots

- števili $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ in $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{3}}/2$ sta algebrski, ker sta ničli polinomov $x^{2}-2$ in $8x^{3}-3$ ,
- kvadratna iracionalna števila (ničle kvadratnega polinoma $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ z racionalnimi koeficienti $a$ $a$ , $b$ $b$ in $c$ $c$ ) so algebrska. Če je kvadratni polinom enočlenski, (vodilni koeficient $a=1$ $a=1$ ), so ničle kvadratna cela števila
  - število zlatega reza $\phi$ je kvadratno iracionalno število in je algebrsko, je ničla kvadratnega polinoma $x^{2}-x-1$ ,
  - Gaussova cela števila in Eisensteinova cela števila so tudi kvadratna cela števila.
Conwayjeva konstanta je algebrska, ker je realna ničla polinoma stopnje 71,
števili $\pi$ in e nista algebrski (glej Lindemann-Weierstrassov izrek),
konstruktabilna števila so algebrska.

@@ Vrstica 1: / Vrstica 1: @@
-'''Algébrsko števílo''' (zastarelo '''algebrajsko število''') je vsako [[realno število|realno]] ali [[kompleksno število]], ki je rešitev neke [[polinom]]ske [[enačba|enačbe]] oblike:
+'''Algébrsko števílo''' (zastarelo '''algebrajsko število''') je vsako [[realno število|realno]] ali [[kompleksno število]], ki je [[rešitev enačbe|rešitev]] neke [[polinom]]ske [[enačba|enačbe]] oblike:
+: <math> a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0} = 0 \!\, , </math>
-: ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n''-1</sub>''x''<sup>''n''-1</sup> + ... + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup>1</sup> + ''a''<sub>0</sub> = 0
 kjer je ''n'' ≥ 1 in so koeficienti ''a<sub>i</sub>'' [[celo število|cela števila]] (ali enakovredno [[racionalno število|racionalna števila]]), ne vsa enaka 0.
@@ Vrstica 11: / Vrstica 11: @@
 == Zgledi algebrskih števil ==
-* vsa [[racionalno število|racionalna števila]] so algebrska. Zapisana v obliki ulomka <math>a/b</math> zadoščajo definiciji algebrskih števil, saj je <math>x = a/b</math> koren enačbe <math>bx-a</math>
+* vsa [[racionalno število|racionalna števila]] so algebrska. Zapisana v obliki ulomka <math>a/b</math> zadoščajo definiciji algebrskih števil, saj je <math>x = a/b</math> rešitev enačbe <math>bx-a</math>
 * tudi nekatera [[iracionalno število|iracionalna števila]] so algebrska, npr. števila, ki jih lahko zapišemo s [[korenjenje|koreni]]:
 : <math> \sqrt{2},~ \sqrt[3]{5},~\frac{1+\sqrt{7}}{6},~\frac{1+\sqrt{5}}{2}~\ldots </math>
-** števili <math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> in <math>\scriptstyle\sqrt[3]{3}/2</math> sta algebrski, ker sta korena polinomov <math>x^{2} - 2</math> in <math>8x^{3} - 3</math>,
+** števili <math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> in <math>\scriptstyle\sqrt[3]{3}/2</math> sta algebrski, ker sta [[ničla funkcije|ničli]] polinomov <math>x^{2} - 2</math> in <math>8x^{3} - 3</math>,
-** [[kvadratno iracionalno število|kvadratna iracionalna števila]] (koreni kvadratnega polinoma <math>ax^2 + bx + c</math> z racionalnimi koeficienti <math>a</math>, <math>b</math> in <math>c</math>) so algebrska. Če je kvadratni polinom enočlenski, (vodilni koeficient <math>a = 1</math>), so koreni [[kvadratno celo število|kvadratna cela števila]]
+** [[kvadratno iracionalno število|kvadratna iracionalna števila]] (ničle kvadratnega polinoma <math>ax^2 + bx + c</math> z racionalnimi koeficienti <math>a</math>, <math>b</math> in <math>c</math>) so algebrska. Če je kvadratni polinom enočlenski, (vodilni koeficient <math>a = 1</math>), so ničle [[kvadratno celo število|kvadratna cela števila]]
-*** [[število zlatega reza]] <math>\phi</math> je kvadratno iracionalno število in je algebrsko, je koren kvadratnega polinoma <math>x^{2} - x - 1</math>,
+*** [[število zlatega reza]] <math>\phi</math> je kvadratno iracionalno število in je algebrsko, je ničla kvadratnega polinoma <math>x^{2} - x - 1</math>,
 *** [[Gaussovo celo število|Gaussova cela števila]] in [[Eisensteinovo celo število|Eisensteinova cela števila]] so tudi kvadratna cela števila.
-* [[Conwayjeva konstanta]] je algebrska, ker je realni koren polinoma stopnje 71,
+* [[Conwayjeva konstanta]] je algebrska, ker je realna ničla polinoma stopnje 71,
 * števili [[Pi|<math>\pi</math>]] in ''[[e (matematična konstanta)|e]]'' nista algebrski (glej [[Lindemann-Weierstrassov izrek]]),
 * [[konstruktabilno število|konstruktabilna števila]] so algebrska.