Osemkotnik

Pravilni osemkotnik

Nepravilni osemkotnik

Vbočeni osemkotnik

Ósemkótnik ali s tujko óktagon (starogrško octogōnos < octo - osem + gōnos - ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik z osmimi stranicami, osmimi oglišči in osmimi notranjimi koti.

Splošne lastnosti

V pravilnem osemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 3π/4, oziroma 135 stopinj. Vsota notranjih kotov v enostavnem osemkotniku je enaka 1080°. Njegov Schläflijev simbol je {8}.

Polmer očrtanega kroga:

$R={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\approx 1,306563a\!\,,$

$R=\rho {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}\approx 1,082392\rho \!\,$

in polmer včrtanega kroga:

$\rho ={\frac {a}{2}}(1+{\sqrt {2}})\approx 1,207107a\!\,,$

$\rho ={\frac {R}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 0,923880R\!\,.$

Dolžina stranice $a\,\!$ je:

$a=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx 0,765367R\!\,,$

$a=2\rho ({\sqrt {2}}-1)\approx 0,828427\rho \!\,.$

Razmerje polmerov:

${\frac {R}{\rho }}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{1+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\approx 1,082392\!\,.$

Obseg

Obseg pravilnega osemkotnika je:

$o=8a\!\,.$

Ploščina

Ploščina pravilnega osemkotnika s stranico $a\,\!$ je:

$p=2\,\operatorname {ctg} \,{\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4,828427a^{2}\!\,,$

oziroma s polmeroma:

$p=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2,828427R^{2}\!\,,$

$p=8\,\operatorname {tg} \,{\frac {\pi }{8}}\rho ^{2}=8({\sqrt {2}}-1)\rho ^{2}\approx 3,3137085\rho ^{2}\!\,.$

Zadnja dva koeficienta omejujeta vrednost števila π, ploščino enotskega kroga.

Ploščina pravilnega osemkotnika je dana tudi z:

$p=d_{2}^{2}-a^{2}\!\,,$

kjer je $d_{2}$ razpon osemkotnika, oziroma dolžina druge najdaljše diagonale. Razpon osemkotnika je enaka:

$d_{2}={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\!\,,$

ploščina pa:

$p=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\!\,.$

Uporabe osemkotnikov

V mnogih delih sveta imajo stop znaki obliko pravilnega osemkotnika.	Stikalo	Solnica	Zaboj z osnovno ploskvijo v obliki nepravilnega osemkotnika
Pladenj v obliki nepravilnega osemkotnika	Dežnik	Zvezda Lakšmi ima vrhove v obliki pravilnega osemkotnika	Rimski betonski obok v Rimu.
Slika:Victoria Cross Medal Ribbon & Bar.png Viktorijin križec

Osemkrako zvezdo, oktagram, s Schläflijevim simbolom {8/3}, očrtuje pravilni osemkotnik.	Racionalni približki pravilnih osemkotnikov, izpeljani iz Pellovih števil.	Ogliščno figuro pravilnega poliedra, velikega dirhombikosidodekaedra, očrtuje nepravilni osemstrani zvezdasti mnogokotnik.	Osemstrana prizma ima za osnovni ploskvi dva osemkotnika.
Pokritje ravnine s prisekanim kvadratom ima ob vsakem oglišču 2 osemkotnika.	Prisekani kubični oktaeder ima 6 osemkotnikov.	Osemstrana antiprizma ima dva osemkotnika.	Penroseov osemkotnik.