Obseg (algebra): Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m +iw
Klemen Kocjancic (pogovor | prispevki)
m slog
Vrstica 14: Vrstica 14:


* (''O'', +, '''·''') je [[kolobar (algebra)|kolobar]]
* (''O'', +, '''·''') je [[kolobar (algebra)|kolobar]]
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 ([[enota]]), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a''
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a''
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja inverzni element ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja:
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja inverzni element ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja:

Redakcija: 21:12, 11. januar 2009

Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.

Definicija

Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ab = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.

Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)

Kratka definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:

  • (O, +, ·) je kolobar
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
  • za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
a · a−1 = a−1 · a = 1

Daljša definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
a · a−1 = a−1 · a = 1

Vrste obsegov

Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.

Zgledi

Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.

Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.

Množica matrik dimenzije n×n na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo obrnljive matrike dimenzije n×n in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.

Glej tudi