Möbiusov trak

Möbiusov trak

Möbiusov trak (oz. Möbiusova ploskev) je v topologiji (prva odkrita) enostranska in neusmerjena ploskev z robom. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu, ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing. Möbiusov trak je zgled za neorientabilno ploskev. V vsaki točki lahko postavimo dve normali, ne moremo pa na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če stopimo nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravnamo po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napotimo po njegovem ravniku, se bomo vrnili v začetno točko, toda obrnjeni navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž poti in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku dobimo, če ga rišemo v parametričnih koordinatah:

$x(u,v)=1+{v \over 2}\cos \left({u \over 2}\right)\cos u$

$y(u,v)=1+{v \over 2}\cos \left({u \over 2}\right)\sin u\qquad 0<u<2\pi$

$z(u,v)={v \over 2}\sin \left({u \over 2}\right)\qquad -1<v<1\;.$

S tem dobimo Möbiusov trak širine 1, katerega središčni krog ima polmer 1, leži na ravnini x-y in ima središče v (0,0,0). Parameter u teče okoli traku, v pa od enega robu do drugega.

V cilindričnih polarnih koordinatah (r, θ, z) lahko Möbiusov trak zapišemo z enačbo:

$\log r\sin \left({\theta \over 2}\right)=z\cos \left({\theta \over 2}\right)\;.$

Zunanje povezave

• Visual Math Animacija
• MathWorld site