Obseg (algebra)

Za druge pomene glej obseg (razločitev).

Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.

Definicija

Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti a − b = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b⁻¹. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.

Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)

Kratka definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:

• (O, +, ·) je kolobar
• obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):

1 · a = a · 1 = a

• za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a⁻¹, tako da velja:

a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = 1

Daljša definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):

• komutativnost za seštevanje: a + b = b + a
• asociativnost za seštevanje: a + (b + c) = (a + b) + c
• obstaja nevtralni element za seštevanje (označimo ga z oznako 0): a + 0 = 0 + a = a
• poljubni element a ima nasprotni element −a, tako da velja: a + (−a) = (−a) + a = 0

• asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c
• distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

(a + b) · c = (a · c) + (b · c)

• obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):

1 · a = a · 1 = a

• za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a⁻¹, tako da velja:

a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = 1

Vrste obsegov

Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.

Zgledi

Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.

Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.

Množica matrik dimenzije n×n na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo obrnljive matrike dimenzije n×n in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.

Glej tudi

• algebrska struktura
• grupa
• kolobar