Obseg (algebra): Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m 0
Marino (pogovor | prispevki)
m povezave
Vrstica 1: Vrstica 1:
{{drugipomeni2|obseg}}
{{drugipomeni2|obseg}}
'''Obsèg''' je v [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] ime za [[množica|množico]], v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z [[0]]), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici [[racionalno število|racionalnih]] ali [[realno število|realnih števil]]. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.
'''Obsèg''' je v [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] ime za [[algebrska struktura|algebrsko strukturo]], v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z [[0]]), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici [[racionalno število|racionalnih]] ali [[realno število|realnih števil]]. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.


==Definicija==
==Definicija==
Obseg je množica ''O'' skupaj z dvema [[matematična operacija|računskima operacijama]], ki ju zaradi preprostosti imenujemo [[seštevanje]] in [[množenje]] in ju označujemo z znakoma + (plus) in '''·''' (krat). Za računski operaciji + in '''·''' morajo veljati spodaj navedene lastnosti. [[Odštevanje]] definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b''), [[deljenje]] pa kot množenje z obratno vrednostjo: ''a'' ''':''' ''b'' = ''a'' '''·''' ''b''<sup>−1</sup>. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.
Obseg je [[množica]] ''O'' skupaj z dvema [[matematična operacija|računskima operacijama]], ki ju zaradi preprostosti imenujemo [[seštevanje]] in [[množenje]] in ju označujemo z znakoma + (plus) in '''·''' (krat). Za računski operaciji + in '''·''' morajo veljati spodaj navedene lastnosti. [[Odštevanje]] definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b''), [[deljenje]] pa kot množenje z obratno vrednostjo: ''a'' ''':''' ''b'' = ''a'' '''·''' ''b''<sup>−1</sup>. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.


Tako opremljeno množico označimo kot (''O'', +, '''·''')
Tako opremljeno množico označimo kot (''O'', +, '''·''')
Vrstica 45: Vrstica 45:


==Glej tudi==
==Glej tudi==
* [[algebrska struktura]]
* [[Grupa (matematika)|grupa]]
* [[Grupa (matematika)|grupa]]
* [[Kolobar (algebra)|kolobar]]
* [[Kolobar (algebra)|kolobar]]

Redakcija: 08:59, 27. november 2008

Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.

Definicija

Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ab = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.

Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)

Kratka definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:

  • (O, +, ·) je kolobar
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
  • za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
a · a−1 = a−1 · a = 1

Daljša definicija

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
a · a−1 = a−1 · a = 1

Vrste obsegov

Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.

Zgledi

Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.

Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.

Množica matrik dimenzije n×n na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo obrnljive matrike dimenzije n×n in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.

Glej tudi