Zvezna funkcija

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija

Zveznost nas ponavadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo s takoimenovano epsilon-delta definicijo, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

$|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon$

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

Zgledi

Zgledi zveznih funkcij:

• Vsak polinom je povsod zvezna funkcija (vključno z linearno in kvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
• Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah "kjer je definirana". Racionalna funkcija ni definirana v polih, zato se graf v polih pretrga.
• Potenčna in korenska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Eksponentna in logaritemska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Trigonometrijske funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.

Graf funkcije signum

Za primer nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1;&{\text{za}}&x<0\\0;&{\text{za}}&x=0\\1;&{\text{za}}&x>0\end{matrix}}\right.$

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.