Limita funkcije: Razlika med redakcijama
Vrednost, ki se ji f(x) približuje |
|||
Vrstica 29: | Vrstica 29: | ||
<math>\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1 </math> |
<math>\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1 </math> |
||
[[Kategorija:Lastnosti |
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]] |
||
[[Kategorija:Infinitezimalni račun]] |
[[Kategorija:Infinitezimalni račun]] |
||
Redakcija: 09:51, 15. april 2008
Limíta fúnkcije v točki a je število, ki se mu vrednost funkcije f(x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje danemu številu a.
Limito funkcije v točki a označimo (beri: "limita f(x), ko gre x proti a).
Limita funkcije v točki a je enaka funkcijski vrednosti f(a), če in samo če je funkcija v točki a zvezna.
Matematična definicija
Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja.
Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje xn, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti yn = f(xn). Če ima dobljeno zaporedje yn limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje xn, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.
Računanje limite
Krajšanje
V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni a.
Zgled: funkcija pri x = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:
Torej za zgornjo funkcijo velja: če se x približuje vrednosti 3, se f(x) približuje vrednosti 3/2.
L'Hôpitalovo pravilo
Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je L'Hôpitalovo pravilo. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre x proti a), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:
Zgled za uporabo L'Hôpitalovega pravila: