Funkcija gama: Razlika med redakcijama
m robot Dodajanje: is:Gammafallið |
m dp |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
[[Slika:Gamma.png|thumb]] |
[[Slika:Gamma.png|thumb]] |
||
[[Slika:Gamma abs.png|thumb]] |
[[Slika:Gamma abs.png|thumb]] |
||
''' |
'''Fúnkcija gáma''' je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], ki razširja pojem [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Zapisa se je domislil [[Adrien-Marie Legendre]], funkcijo samo pa je uvedel [[Leonhard Euler]]. Če je [[realno število|realni]] del kompleksnega števila ''z'' [[pozitivno število|pozitiven]], potem [[integral]]: |
||
⚫ | |||
: <math> |
|||
⚫ | |||
</math> |
|||
[[konvergenca|konvergira]] absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja |
[[konvergenca|konvergira]] absolutno. Z [[integracija po delih|integracijo po delih]] je moč pokazati, da velja: |
||
:<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.</math> |
: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \!\, . </math> |
||
Ker je |
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi: |
||
:<math>\Gamma(n+1) = n!\,</math> |
: <math>\Gamma(n+1) = n! \!\, </math> |
||
za vsa [[naravno število|naravna števila]] ''n''. Z [[analitično nadaljevanje|analitičnim nadaljevanjem]] je moč razširiti |
za vsa [[naravno število|naravna števila]] ''n''. Z [[analitično nadaljevanje|analitičnim nadaljevanjem]] je moč razširiti Γ(''z'') v [[meromorfna funkcija|meromorfno funkcijo]] definirano za vsa kompleksna |
||
števila ''z'' razen ''z'' = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica. |
števila ''z'' razen ''z'' = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica. |
||
Funkcija gama nima [[ničla|ničel]]. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je |
Funkcija gama nima [[ničla|ničel]]. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je: |
||
:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.</math> |
: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \!\, . </math> |
||
Funkcija gama ima [[pol (kompleksna analiza)|pol]] reda 1 pri ''z'' = −''n'' za vsako naravno število ''n''; [[residuum]] je tam podan kot |
Funkcija gama ima [[pol (kompleksna analiza)|pol]] reda 1 pri ''z'' = −''n'' za vsako naravno število ''n''; [[residuum]] je tam podan kot: |
||
:<math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!}</math> |
: <math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!} \!\, . </math> |
||
Naslednja [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila ''z'', ki niso nepozitivna [[celo število|cela števila]]: |
Naslednja [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila ''z'', ki niso nepozitivna [[celo število|cela števila]]: |
||
:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math> |
: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \!\, . </math> |
||
Tu je |
Tu je γ [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]. |
||
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo: |
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo: |
||
<math> |
<math> |
||
\Gamma\left( x\right) =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots =\frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) } |
\Gamma\left( x\right) =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots =\frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) } \!\, |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 41: | Vrstica 39: | ||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Funkcija gama na MathWorld] |
* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Funkcija gama na MathWorld] {{ikona en}} |
||
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]] |
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]] |
Redakcija: 17:00, 11. marec 2008
Fúnkcija gáma je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral:
konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:
za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.
Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot:
Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:
Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.
Zunanje povezave
- Funkcija gama na MathWorld (angleško)