Besslova funkcija: Razlika med redakcijama
m robot Dodajanje: lt:Beselio funkcija |
m dp |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Besslove funkcije''' [ |
'''Besslove funkcije''' [béslove fúnkcije] (pogosteje '''Bésselove f.''') so družina [[transcendentne funkcije|transcendentnih]] [[funkcija|funkcij]], ki rešijo Besslovo [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]: |
||
<math> |
: <math> |
||
x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0 |
x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0 |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 7: | Vrstica 7: | ||
Kot prvi jih je definiral [[Švica|švicarski]] [[matematik]] [[Daniel Bernoulli]] in jih poimenoval po [[Friedrich Wilhelm Bessel|Friedrichu Besslu]]. |
Kot prvi jih je definiral [[Švica|švicarski]] [[matematik]] [[Daniel Bernoulli]] in jih poimenoval po [[Friedrich Wilhelm Bessel|Friedrichu Besslu]]. |
||
==Uporabnost Besslovih funkcij== |
== Uporabnost Besslovih funkcij == |
||
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov [[matematična fizika|matematične fizike]] v valjasti ali krogelni [[geometrija|geometriji]], kot na primer: |
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov [[matematična fizika|matematične fizike]] v valjasti ali krogelni [[geometrija|geometriji]], kot na primer: |
||
* [[prevajanje]] [[toplota|toplote]] ali [[difuzija]] v [[valj]]u |
* [[prevajanje]] [[toplota|toplote]] ali [[difuzija]] v [[valj]]u |
||
* [[nihanje]] tankega valja |
* [[nihanje]] tankega valja |
||
* [[elektromagnetno|elekromagnetna]] [[valovanje|valovanja]] v valjastem [[valovni vodnik|valovnem vodniku]]. |
* [[elektromagnetno|elekromagnetna]] [[valovanje|valovanja]] v valjastem [[valovni vodnik|valovnem vodniku]]. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot [[harmonične funkcije]] ([[sinus]], [[cosinus]]) v pravokotni geometriji. |
||
V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot [[harmonične funkcije]] ([[sinus]], [[cosinus]]) v pravokotni geometriji. |
|||
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov [[uporabna matematika|uporabne matematike]]. |
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov [[uporabna matematika|uporabne matematike]]. |
||
==Besslove funkcije <math>J_{\nu }</math> in <math>Y_{\nu }</math>== |
== Besslove funkcije <math>J_{\nu }</math> in <math>Y_{\nu }</math> == |
||
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.]] |
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.]] |
||
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot: |
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot: |
||
<math> |
: <math> |
||
J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)} |
J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)} |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 26: | Vrstica 27: | ||
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko: |
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko: |
||
<math> |
: <math> |
||
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right) |
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right) |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 35: | Vrstica 36: | ||
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja: |
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja: |
||
<math> |
: <math> |
||
J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right) |
J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right) |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 41: | Vrstica 42: | ||
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'': |
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'': |
||
<math> |
: <math> |
||
Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) } |
Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) } |
||
</math> |
</math> |
||
Vrstica 47: | Vrstica 48: | ||
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka: |
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka: |
||
<math> |
: <math> |
||
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right) |
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right) |
||
</math> |
</math> |
Redakcija: 02:25, 10. januar 2008
Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:
Kot prvi jih je definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Besslu.
Uporabnost Besslovih funkcij
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:
- prevajanje toplote ali difuzija v valju
- nihanje tankega valja
- elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, cosinus) v pravokotni geometriji.
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.
Besslove funkcije in
Besslova funkcija prve vrste reda se izračuna kot:
Če ni celo število, funkciji in nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:
Kjer sta in odvisna od začetnih pogojev.
Če je celo število, se izkaže, da sta funkciji in linearno odvisni, saj velja:
V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda , ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni enaka: