Kvadratna funkcija: Razlika med redakcijama
es:Función cuadrática |
Dopolnil: teme, ničle |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Kvadratna funkcija''' |
'''Kvadratna funkcija''' je realna [[funkcija]], ki se jo da zapisati z enačbo oblike: |
||
:<math>f(x)=ax^2+bx+c\,\!</math>, |
|||
kjer so koeficienti ''a'', ''b'' in ''c'' [[realna števila]] in je ''a'' različen od 0 (če bi bil ''a'' enak 0, bi bila to [[linearna funkcija]]). |
|||
==Teme kvadratne funkcije== |
|||
[[Slika:Polynomialdeg2.png|thumb|Graf funkcije <math>f(x)=x^2-x-2</math>]] |
|||
Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v '''temensko obliko''': |
|||
:<math>f(x)=a(x-p)^2+q\,\!</math> |
|||
Števili ''p'' in ''q'', ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kejr kvadratna funkcija doseže ekstremno vednost. To točko imenujemo '''tême''': ''T(p,q)''. |
|||
Koordinati temena izračunamo po formulah: |
|||
:<math>p=-\frac{b}{2a}~~~~~~ q=\frac{4ac-b^2}{4a}</math> |
|||
Teme omogoča lažje risanje [[graf funkcije|grafa]] kvadratne funkcije. |
|||
==Ničli kvadratne funkcije== |
|||
Kvaratna funkcija ima lahko eno ali dve [[ničla funkcije|ničli]], lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli: |
|||
:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> |
|||
Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo '''diskriminanta''' (<math>D=b^2-4ac</math>) in pišemo tudi: |
|||
:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math> |
|||
[[Diskriminanta]] nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka [[abscisna os|abscisno os]]: |
|||
*Če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os ''x'' v dveh točkah. |
|||
*Če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi ''x''. |
|||
*Če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi ''x''. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordiantnem sistemu ne vidi). |
|||
Če ima kvadratna funkcija ničli <math>x_1, x_2</math>, lahko njeno enačbo preoblikujemo v '''ničelno obliko''': |
|||
:<math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\,\!</math> |
|||
==Posplošitev== |
|||
Posplošena kvadratna funkcija je funkcija |
|||
<math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, ki se jo da zapisati z enačbo oblike: |
|||
:<math>f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}</math>, |
:<math>f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}</math>, |
||
kjer je '''Q''' simetrična ''n''×''n'' |
kjer je '''Q''' simetrična [[matrika]] dimenzije ''n''×''n'' in '''c''' vektor dimenzije ''n''. |
||
Kot funkcija <math>f: R \to R</math> ima kvadratna funkcija obliko :<math>f(\mathbf{x}) = a \mathbf{x}^2 + b \mathbf{x} +c</math>. |
|||
== Glej tudi == |
== Glej tudi == |
||
* [[kvadratna enačba]] |
|||
* [[funkcija (matematika)]] |
* [[funkcija (matematika)]] |
||
{{math-stub}} |
|||
[[Kategorija:Polinomi]] |
[[Kategorija:Polinomi]] |
Redakcija: 12:02, 19. december 2007
Kvadratna funkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:
- ,
kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).
Teme kvadratne funkcije
Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:
Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kejr kvadratna funkcija doseže ekstremno vednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).
Koordinati temena izračunamo po formulah:
Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.
Ničli kvadratne funkcije
Kvaratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:
Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta () in pišemo tudi:
Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:
- Če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
- Če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
- Če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordiantnem sistemu ne vidi).
Če ima kvadratna funkcija ničli , lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:
Posplošitev
Posplošena kvadratna funkcija je funkcija , ki se jo da zapisati z enačbo oblike:
- ,
kjer je Q simetrična matrika dimenzije n×n in c vektor dimenzije n.