Kvadratna funkcija: Razlika med redakcijama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
es:Función cuadrática
Marino (pogovor | prispevki)
Dopolnil: teme, ničle
Vrstica 1: Vrstica 1:
'''Kvadratna funkcija''' <math>f: R^n \to R</math> je [[funkcija]] oblike
'''Kvadratna funkcija''' je realna [[funkcija]], ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

:<math>f(x)=ax^2+bx+c\,\!</math>,

kjer so koeficienti ''a'', ''b'' in ''c'' [[realna števila]] in je ''a'' različen od 0 (če bi bil ''a'' enak 0, bi bila to [[linearna funkcija]]).

==Teme kvadratne funkcije==
[[Slika:Polynomialdeg2.png|thumb|Graf funkcije <math>f(x)=x^2-x-2</math>]]
Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v '''temensko obliko''':

:<math>f(x)=a(x-p)^2+q\,\!</math>

Števili ''p'' in ''q'', ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kejr kvadratna funkcija doseže ekstremno vednost. To točko imenujemo '''tême''': ''T(p,q)''.

Koordinati temena izračunamo po formulah:

:<math>p=-\frac{b}{2a}~~~~~~ q=\frac{4ac-b^2}{4a}</math>

Teme omogoča lažje risanje [[graf funkcije|grafa]] kvadratne funkcije.

==Ničli kvadratne funkcije==
Kvaratna funkcija ima lahko eno ali dve [[ničla funkcije|ničli]], lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo '''diskriminanta''' (<math>D=b^2-4ac</math>) in pišemo tudi:

:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>

[[Diskriminanta]] nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka [[abscisna os|abscisno os]]:
*Če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os ''x'' v dveh točkah.
*Če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi ''x''.
*Če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi ''x''. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordiantnem sistemu ne vidi).

Če ima kvadratna funkcija ničli <math>x_1, x_2</math>, lahko njeno enačbo preoblikujemo v '''ničelno obliko''':

:<math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\,\!</math>

==Posplošitev==
Posplošena kvadratna funkcija je funkcija
<math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:


:<math>f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}</math>,
:<math>f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}</math>,


kjer je '''Q''' simetrična ''n''&times;''n'' [[matrika]] in '''c''' vektor dimenzije ''n''.
kjer je '''Q''' simetrična [[matrika]] dimenzije ''n''&times;''n'' in '''c''' vektor dimenzije ''n''.


Kot funkcija <math>f: R \to R</math> ima kvadratna funkcija obliko :<math>f(\mathbf{x}) = a \mathbf{x}^2 + b \mathbf{x} +c</math>.


== Glej tudi ==
== Glej tudi ==
* [[kvadratna enačba]]

* [[funkcija (matematika)]]
* [[funkcija (matematika)]]


{{math-stub}}


[[Kategorija:Polinomi]]
[[Kategorija:Polinomi]]

Redakcija: 12:02, 19. december 2007

Kvadratna funkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

,

kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Teme kvadratne funkcije

Graf funkcije

Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:

Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kejr kvadratna funkcija doseže ekstremno vednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).

Koordinati temena izračunamo po formulah:

Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije

Kvaratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta () in pišemo tudi:

Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

  • Če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
  • Če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
  • Če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordiantnem sistemu ne vidi).

Če ima kvadratna funkcija ničli , lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:

Posplošitev

Posplošena kvadratna funkcija je funkcija , ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

,

kjer je Q simetrična matrika dimenzije n×n in c vektor dimenzije n.


Glej tudi