Funkcija gama

Funkcija gama je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,.$

Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi

$\Gamma (n+1)=n!\,$

za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.

Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.$

Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$

Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:

$\Gamma \left(x\right)={\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{x}}={\frac {\Gamma \left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)}}=\ldots ={\frac {\Gamma \left(x+k+1\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\ldots \left(x+k\right)}}$

od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.

Zunanje povezave

• Funkcija gama na MathWorld (v angleščini)