Paravektor

Paravektor je izraz, ki se uporablja za vsoto skalarja in vektorja v katerikoli Cliffordovi algebri.

Algebra paravektorjev v okviru Evklidskega prostora v treh razsežnostih je alternativen pristop k algebri prostor-časa (oznaka STA, kar pomeni Spacetime Algebra), ki jo je vpeljal ameriški fizik David Hestenes (rojen 1933). Ta algebra se imenuje tudi algebra fizičnega prostora (oznaka APS, kar pomeni Algebra of Physical Space)

Trirazsežni Evklidski prostor

Polni nabor baznih vektorjev v tri-razsežnem prostoru lahko predstavimo z

$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$

kjer večkratni indeksi predstavljajo produkt odgovarjajočih vektorjev $\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$$\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$.

Stopnja baznih elementov je določena tako, da je

stopnja	vrsta	elementi baze
0	enotski realni skalar	$1$$1$
1	vektor	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	bivektor	$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$
3	volumski element trivektorja	$\mathbf {e} _{123}$$\mathbf {e} _{123}$

Dva različna bazna vektorja sta antikomutativna. To lahko zapišemo kot

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$

ali

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$

To pomeni, da ima prostorninski element $e_{123}\,$$e_{123}\,$ kvadrat, ki je enak -1.

Paravektor

Pripadajoča paravektorska baza, ki jo sestavljata realni skalar in vektorji, je enaka $\{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$$\{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$. To pa tvori štirirazsežni linearni prostor. Prostor paravektorja v trirazsežnem prostoru $Cl_{3}$$Cl_{3}$ je primeren za prikaz prostor-časa iz posebne teorije relativnosti v algebri fizikalnega prostora (oznaka APS).

Včasih je zelo primerno pisati enotski skalar kot $1=e_{0}\,$$1=e_{0}\,$. V tem primeru lahko pišemo celotno bazo kot

$\{\mathbf {e} _{\mu }\},$$\{\mathbf {e} _{\mu }\},$

kjer

• $\mu \,$$\mu \,$ lahko zavzame vrednosti od $0$$0$ do $3$$3$.

Zunanje povezave

• Geometrija paravektorskega prostora (v angleščini)
• Konformne strukture in tvistorji v paravektorskem modelu prostor-časa (v angleščini)