Obrnljiva matrika

Ne zamenjajte za obratna matrika.

Za matrike brez inverza in za koncept matrik glej singularna matrika in matrika.

Obrnljiva matrika (tudi invertibilna matrika in nesingularna, nedegenerirana ali regularna matrika) je v linearni algebri kvadratna matrika z inverzom. Z drugimi besedami, če je matrika obrnljiva, se jo lahko pomnoži z njeno obratno matriko, da se dobi enotsko matriko. Obrnljive matrike so enake velikosti kot njihova obratna matrika.

Inverz matrike predstavlja inverzno operacijo, kar pomeni, da če se matrika rabi na določenem vektorju, nato pa se rabi obratna matrika, je rezultat prvotni vektor.

Definicija

Kvadratna matrika $\mathbf {A} \!\,$ velikosti $n\times n\!\,$ se imenuje obrnljiva, če obstaja takšna kvadratna matrika $\mathbf {B} \!\,$ velikosti $n\times n\!\,$, da velja

$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\!\,,$

kjer $\mathbf {I} _{n}\!\,$ označuje enotsko matriko velikosti $n\times n\!\,$, pri tem pa je množenje običajno množenje matrik V tem primeru potem matriko $\mathbf {B} \!\,$ enolično določa matrika $\mathbf {A} \!\,$ in se imee inverz matrike $\mathbf {A} \!\,$, označen z $\mathbf {A} ^{-1}\!\,$. Matrična inverzija je postopek iskanja matrike, ki pomnožena z izvirno matriko da enotsko matriko. Obrnljiva matrika ima neničelno determinanto.

Osnovna zamisel

Matriko se lahko razume kot pravilo za transformacijo vektorjev. Na primer, realna matrika $\mathbf {A} \!\,$ velikosti $n\times n\!\,$ definira linearno transformacijo:

$x\mapsto \mathbf {A} x\!\,$

iz množice $\mathbb {R} ^{n}\!\,$ $n\!\,$-teric realnih števil v samo sebe. Matrika je obrnljiva, ko je to transformacijo mogoče razveljaviti z drugo linearno transformacijo. V tem primeru obstaja takšna matrika $\mathbf {A} ^{-1}\!\,$, da raba $\mathbf {A} \!\,$ in nato $\mathbf {A} ^{1}\!\,$ ali raba $\mathbf {A} ^{-1}\!\,$ in nato $\mathbf {A} \!\,$ vrne vsak vektor tja, kjer se je začel.

Geometrijsko gledano ornljiva matrika ne strne prostora v množico nižjih razsežnosti. Pošilja različne vektorje različnim vektorjem in doseže vsak vektor v ciljnem prostoru. Za realno matriko se to odraža v njeni determinanti: obrnljiva matrika ima neničelno determinanto, medtem ko matrika z determinanto nič strne prostornino v nič in ni obrnljiva.

Algebrsko obrnljivost pomeni, da ima linearni sistem

$\mathbf {A} x=b\!\,$

enotno rešitev $x\!\,$ za vsak vektor $b\!\,$. Enakovredno stolpci $\mathbf {A} \!\,$ tvorijo bazo vektorskega prostora. Te in mnoge druge enakovredne karakterizacije povzema izrek o obrnljivi matriki.

Zgledi

Na primer naslednja matrika velikosti $2\times 2\!\,$:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}$

Matrika $\mathbf {A} \!\,$ je obrnljiva, saj ima inverz $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}\!\,$, ki se lahko potrdi z računanjem:

$\mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\cdot 2+{\tfrac {3}{2}}\cdot 2&(-1)\cdot 3+{\tfrac {3}{2}}\cdot 2\\1\cdot 2+(-1)\cdot 2&1\cdot 3+(-1)\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}\!\,.$

Da se preveri, ali je obrnljiva brez iskanja inverza, se lahko izračuna njena determinanta ${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}\!\,}$, ki ni enaka nič.

Na drugi strani je naslednja matrika neobrnljiva:

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}\!\,.$

Ni obrnljiva, ker imata različna $x\!\,$ in $x'$ enaki vrednosti $\mathbf {C} x\!\,$, na primer $x={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}\!\,$ in $x'={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\!\,$ oba data enak rezultat $\mathbf {C} x={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\!\,$. Tako je nemogoče obrniti transformacijo $x\mapsto \mathbf {C} x\!\,$, saj različni vhodi ustvarijo enak izhod. Determinanta $\mathbf {C} \!\,$ je enaka 0, kar je potrebni in zadostni pogoj, da matrika ni obrnljiva.

Obstaja 6 obrnljivih matrik (0, 1) z elementoma {0, 1} velikosti $2\times 2\!\,$ (dvojiških matrik): (OEIS A055165):

${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\,{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},\!\,$

174 obrnljivih matrik (0, 1) velikosti $3\times 3\!\,$:

${\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\0&1&0\end{bmatrix}},\,{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\,\cdots ,\,{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}},\,\cdots ,\,{\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\,\cdots ,\!\,$

Kriterij obrnljivosti

Matrika $\mathbf {A} \!\,$ (nad poljem, kot so realna števila) je obrnljiva, če in samo če je edina rešitev enačbe $\mathbf {A} x=0\!\,$ ničelni vektor. To pomeni, da je ničelnost matrike $\mathbf {A} \!\,$ enaka nič: njen ničelni prostor je sestavljen samo iz ničelnega vektorja. Enakovredno je matrika velikosti $n\times n\!\,$ obrnljiva, če je njen rang $n\!\,$, po izreku o rangu in ničelnosti. Za takšno matriko velja, da je polnega ranga. Geometrijsko to pomeni, da je stolpični prostor matrike $\mathbf {A} \!\,$ ves iz $\mathbb {R} ^{n}\!\,$. Karakterizacije ranga in ničelnosti so povezane na naslednji način: poln rang pomeni, da se matrika preslika na vse $\mathbb {R} ^{n}\!\,$ (surjektivno), ničelnost nič pa pomeni, da je matrika injetivna (ena na ena). To pomeni, da je bijekcija in je zato obrnljiva.

Bolj računsko dovršen kriterij za obrnljivost izhaja iz standardnega načina določanja ranga in ničelnosti matrike. Za kvadratno matriko je matrika obrnljiva, če in samo če je njena ešelonska oblika z reduciranimi vrsticami enotska matrika. Razlog je v tem, da je to edina ešelonska oblika z reduciranimi vrsticami, ki ima poln rang: vse enice vzdolž diagonale in ničle povsod drugje.

Drug kriterij je, da je matrika obrnljiva, če in samo če njena determinanta ni enaka nič.

Viri

• Axler, Sheldon (18. december 2014), Linear Algebra Done Right, (= Undergraduate Texts in Mathematics) (3. izd.), Springer Publishing (objavljeno 2015), COBISS 17208153, ISBN 978-3-319-11079-0
• Jang, J.-S. Roger (marec 2001), »Matrix Inverse in Block Form«, cs.nthu.edu.tw (v angleščini)
• Živković, Miodrag (2006), »Classification of small (0,1) matrices«, Linear Algebra and its Applications (414): 310–346, arXiv:math/0511636, ISSN 0024-3795

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Nonsingular Matrix«. MathWorld.