Normalna matrika

Normalna matrika je kompleksna kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic) za katero velja

$A^{*}A=AA^{*}\$$A^{*}A=AA^{*}\$

kjer je

• $A^{*}\,$$A^{*}\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A\,$$A\,$.

To pomeni, da je matrika $A\,$$A\,$ normalna, če komutira s svojo konjugirano transponirano matriko. Za realne matrike je to

$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}$$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}$.

Kvadratna matrika $A\,$$A\,$ je normalna, če in samo, če obstoja takšna unitarna matrika $U\,$$U\,$ z isto razsežnostjo, da je $U^{-1}AU\,$$U^{-1}AU\,$ diagonalna matrika. To pravilo se imenuje tudi spektralno pravilo. Elementi diagonalne matrike $U^{-1}AU\,$$U^{-1}AU\,$ so lastne vrednosti.

Če je $A\,$$A\,$ realna matrika, potem je $A^{*}=A^{T}\,$$A^{*}=A^{T}\,$ in je matrika normalna, če je $A^{T}A=AA^{T}\,$$A^{T}A=AA^{T}\,$.

Normalnost matrike je primeren test za možnost diagonalizacije matrike. Vsaka normalna matrika se lahko pretvori v diagonalno matriko z enotsko transformacijo in vsaka matrika, ki jo lahko diagonaliziramo z enotsko transformacijo, je normalna matrika.

Med kompleksnimi matrikami so vse unitarne, hermitska in poševnohermitske normalne matrike. Med realnimi matrikami so normalne vse ortogonalne, simetrične in poševnosimetrične matrike (antisimetrične).

Zunanje povezave

• Normalna matrika na MathWorld (v angleščini)
• Normalne preslikave (v slovenščini)