Normalna matrika

Normalna matrika je kompleksna kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic) za katero velja:

$A^{*}A=AA^{*}\!\,,$

kjer je:

• $A^{*}\!\,$ – konjugirano transponirana matrika matrike $A\!\,$.

To pomeni, da je matrika $A\!\,$ normalna, če komutira s svojo konjugirano transponirano matriko. Za realne matrike je to:

$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}\!\,.$

Kvadratna matrika $A\!\,$ je normalna, če in samo če obstaja takšna unitarna matrika $U\!\,$ z isto razsežnostjo, da je $U^{-1}AU\!\,$ diagonalna matrika. To pravilo se imenuje tudi spektralno pravilo. Elementi diagonalne matrike $U^{-1}AU\!\,$ so lastne vrednosti.

Če je $A\!\,$ realna matrika, potem je $A^{*}=A^{T}\!\,$ in je matrika normalna, če je $A^{T}A=AA^{T}\!\,$.

Normalnost matrike je primeren test za možnost diagonalizacije matrike. Vsaka normalna matrika se lahko pretvori v diagonalno matriko z enotsko transformacijo in vsaka matrika, ki se jo lahko diagonalizira z enotsko transformacijo, je normalna matrika.

Med kompleksnimi matrikami so vse unitarne, hermitska in poševnohermitske normalne matrike. Med realnimi matrikami so normalne vse ortogonalne, simetrične in poševnosimetrične matrike (antisimetrične).

Zunanje povezave

• Normalna matrika na MathWorld (angleško)
• Normalne preslikave (slovensko)