Mediana (geometrija)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Mediane in težišče trikotnika.

Mediana (tudi težiščna premica) je v geometriji daljica, ki v trikotniku povezuje oglišče z razpoloviščem oglišču nasprotne stranice. Vsak trikotnik ima natančno tri mediane.

Odnos mediane do težišča[uredi | uredi kodo]

Vsaka mediana teče skozi težišče trikotnika. Težišče trikotnika je središče mas telesa, ki ima enakomerno gostoto in ima obliko trikotnika.

Delitev trikotnika na dva dela[uredi | uredi kodo]

Vsaka mediana deli trikotnik na dve enaki polovici. Zaradi tega ima ta daljica tudi takšno ime. Vse ostale daljice, ki delijo trikotnik na dva enaka dela, ne tečejo skozi težišče trikotnika. Tri mediane delijo trikotnik na šest delov z enako ploščino.

Dolžina mediane[uredi | uredi kodo]

Dolžine median lahko dobilo iz Apolonijevega izreka, ki nam da

m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} },
m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} },
m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} },

kjer so

  •  a, \text { }b, \text { }c stranice trikotnika
  •  m_a, \text { }m_b, \text { }m_c pripadajoče mediane

Iz tega dobimo naslednje zveze

a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2},

Iz tega dobimo naslednje zveze [1]

b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2},
c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2} .

Lastnosti mediane[uredi | uredi kodo]

Mediana ima kar nekaj zanimivih lastnosti:

  • mediana deli ploščino trikotnika na dva enaka dela
  • mediane se sekajo v težišču
  • v vsakem trikotniku velja [2].
\tfrac{3}{4}(obseg) < vsota median < \tfrac{3}{2}(obseg).
  • v vsakem trikotniku s stranicami a, \text { }b, \text { }c in medianami m_a, \text { } m_b, \text { }m_c [2]

velja tudi

\tfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2 .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. str. 22. ISBN 9788477471196. Pridobljeno dne 24-04-2011. 
  2. ^ 2,0 2,1 Posamentier, Alfred S. in Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: strani 86-87

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]