Krivuljni integral

Krivuljni integral je v matematiki integral, pri katerem se funkcija, ki se jo želi integrirati, izračuna vzdolž krivulje. Rabijo se tudi izrazi krivuljski integral, črtni integral, linijski integral, integral po poti, krivočrtni integral in krivolinijski integral. Rabi se tudi konturni integral, čeprav je to običajno rezervirano za krivuljne integrale v kompleksni ravnini.

Funkcija, ki jo je treba integrirati, je lahko skalarno ali vektorsko polje. Vrednost krivuljnega integrala je vsota vrednosti polja v vseh točkah na krivulji, utežena z neko skalarno funkcijo na krivulji (običajno ločno dolžino ali za vektorsko polje skalarni produkt vektorskega polja z diferencialnim vektorjem na krivulji). To uteževanje loči krivuljni integral od enostavnejših integralov, definiranih na intervalih. Mnoge preproste formule v fiziki, kot je definicija dela:

$W=\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\vec {s}} \!\,,$

imajo naravne zvezne analoge v smislu krivuljnih integralov, v tem primeru:

$W=\int _{\mathcal {L}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {s}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {s}} \!\,$

ki izračuna delo, opravljeno na telesu, gibajočem se skozi električno ali gravitacijsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ vzdolž poti ${\mathcal {L}}\!\,$.

Vektorski račun

V kvalitativnem smislu se krivuljni integral v vektorskem računu razume kot mero celotnega učinka danega tenzorskega polja vzdolž dane krivulje. Krivuljni integral po skalarnem polju (tenzor ranga 0) se lahko na primer interpretira kot površino pod poljem, ki ga izreže določena krivulja. To se lahko predstavlja kot površino, ki jo ustvarita ploskev $z=f(x,y)\!\,$ in krivulja ${\mathcal {C}}\!\,$ v ravnini $xy\!\,$. Krivuljni integral $f\!\,$ bi bil površina ustvarjene »zavese« – ko so točke površine, ki so neposredno nad ${\mathcal {C}}\!\,$, izrezane.

Krivuljni integral skalarnega polja

Krivuljni integral nad skalarnim poljem $f\!\,$ se lahko predstavlja kot površino pod krivuljo ${\mathcal {C}}\!\,$ vzdolž ploskve $z=f(x,y)\!\,$, ki jo opisuje polje. Končni točki krivulje sta pri $(x,y)=\mathbf {\vec {r}} (a)\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (b)\!\,$.

Definicija

Za skalarno polje $f\colon U\to \mathbb {R} \!\,$, kjer je $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\!\,$, je krivuljni integral vzdolž po delih gladke krivulje ${\mathcal {C}}\subset U\!\,$ definiran kot:

$\int _{\mathcal {C}}f\,\operatorname {d} s=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {\vec {r}} (t)\right)\left|\mathbf {\vec {r}} '(t)\right|\,\operatorname {d} t\!\,,$

kjer je $\mathbf {\vec {r}} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}\!\,$ poljubna bijektivna parametrizacija krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$, tako da $\mathbf {\vec {r}} (a)\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (b)\!\,$ dajeta končni točki krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$, pri čemer je $a<b\!\,$. Tukaj in v preostalem delu članka črtice absolutne vrednosti označujejo standardno (evklidsko) normo vektorja.

Funkcija $f\!\,$ se imenuje integrand, krivulja ${\mathcal {C}}\!\,$ je domena integracije, simbol $\operatorname {d} s\!\,$ pa se lahko intuitivno interpretira kot elementarno ločno dolžino krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$ (tj. diferencialno dolžino ${\mathcal {C}}\!\,$). Krivuljni integrali skalarnih polj nad krivuljo ${\mathcal {C}}\!\,$ niso odvisni od izbrane parametrizacije $\mathbf {\vec {r}} \!\,$ krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$.

Geometrično gledano, ko je skalarno polje $f\!\,$ definirano nad ravnino $(n=2)\!\,$, je njegov graf ploskev $z=f(x,y)\!\,$ v prostoru, krivuljni integral pa poda (predznačeno) površino prečnega prereza, omejeno s krivuljo ${\mathcal {C}}\!\,$ in grafom $f\!\,$. Glej animacijo na desni.

Izpeljava

Za krivuljni integral nad skalarnim poljem se lahko integral skonstruira iz Riemannove vsote z rabo zgornjih definicij $f\!\,$, ${\mathcal {C}}\!\,$ in parametrizacije $\mathbf {\vec {r}} \!\,$ za ${\mathcal {C}}\!\,$. To se lahko naredi tako, da se interval $[a,b]\!\,$ razdeli na $n\!\,$ podintervalov $[t_{i-1},t_{i}]\!\,$ dolžine $\Delta t=(b-a)/n\!\,$, nato $\mathbf {\vec {r}} (t_{i})\!\,$ označuje neko točko na krivulji ${\mathcal {C}}\!\,$, ki se imenuje vzorčna točka. Množico vzorčnih točk $\{\mathbf {\vec {r}} (t_{i})\colon 1\leq i\leq n\}\!\,$ se lahko rabi za aproksimacijo krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$ kot poligonske poti z uvedbo premice med vsako od vzorčnih točk $\mathbf {\vec {r}} (t_{i-1})\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (t_{i})\!\,$. (Aproksimacija krivulje v poligonsko pot se imenuje rektifikacija krivulje, za več podrobnosti glej dolžina loka.) Nato se označi razdaljo odseka premice med sosednjimi vzorčnimi točkami na krivulji kot $\Delta s_{i}\!\,$. Produkt $f(\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\!\,$ in $\Delta s_{i}\!\,$ se lahko poveže s predznačeno ploščino pravokotnika z višino in širino $f(\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\!\,$ oziroma $\Delta s_{i}\!\,$. Če se vzame limito vsote členov, ko se dolžina razdelkov približuje ničli, se dobi:

$I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\,\Delta s_{i}\!\,.$

Po izreku o povprečni vrednosti je razdalja med zaporednima točkama na krivulji enaka:

$\Delta s_{i}=\left|\mathbf {\vec {r}} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {\vec {r}} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {\vec {r}} '(t_{i})\Delta t\right|\!\,.$

Če se zamenja to v zgornjo Riemannovo vsoto, sledi:

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\left|\mathbf {\vec {r}} '(t_{i})\right|\Delta t\!\,,$

kar je Riemannova vsota za integral:

$I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {\vec {r}} (t))\left|\mathbf {\vec {r}} '(t)\right|\,\operatorname {d} t\!\,.$

Krivuljni integral vektorskega polja

Definicija

Za vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\!\,$ je krivuljni integral vzdolž po delih gladke krivulje ${\mathcal {C}}\subset U\!\,$ v smeri $\mathbf {\vec {r}} \!\,$ definiran kot:

$\int _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {r}} =\int _{a}^{b}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t))\cdot \mathbf {\vec {r}} '(t)\,\operatorname {d} t\!\,,$

kjer je $\cdot \!\,$ skalarni produkt in $\mathbf {\vec {r}} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}\!\,$ regularna parametrizacija (to je $||\mathbf {\vec {r}} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]\!\,$) ${\mathcal {C}}\!\,$, tako da $\mathbf {\vec {r}} (a)\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (b)\!\,$ dajeta končni točki krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$.

Krivuljni integral skalarnega polja je torej krivuljni integral vektorskega polja, kjer so vektorji vedno tangentni na integracijsko premico.

Krivuljni integrali vektorskih polj so neodvisni od parametrizacije $\mathbf {\vec {r}} \!\,$ v absolutni vrednosti, vendar so odvisni od njene usmerjenosti. Natančneje, obrat v usmerjenosti parametrizacije spremeni predznak krivuljnega integrala.

Z vidika diferencialne geometrije je krivuljni integral vektorskega polja vzdolž krivulje integral ustrezne 1-forme pod glasbenim izomorfizmom (ki popelje vektorsko polje v ustrezno kovektorsko polje) nad krivuljo, obravnavano kot pogreznjeno 1-mnogoterost.

Izpeljava

Pot točkastega telesa (rdeče) vzdolž krivulje znotraj vektorskega polja. Iz točke $a\!\,$ telo sledi poti ${\mathcal {C}}\!\,$ vzdolž vektorskega polja $\mathbf {\vec {F}} \!\,$. Skalarni produkt (zeleno) njegovega tangentnega vektorja (rdeča puščica) in vektorja polja (modra puščica) določa površino pod krivuljo, ki je enakovredna krivuljnemu integralu poti. (Za podroben opis klikni na sliko.)

Krivuljni integral vektorskega polja se lahko izpelje na zelo podoben način kot v primeru skalarnega polja, vendar tokrat z vključitvijo skalarnega produkta. Ponovno z uporabo zgornjih definicij $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, ${\mathcal {C}}\!\,$ in njene parametrizacije $\mathbf {\vec {r}} (t)\!\,$ se s konstruira integral iz Riemannove vsote. Interval $[a,b]\!\,$ (ki je območje vrednosti parametra $t\!\,$) se razdeli na $n\!\,$ intervalov dolžine $\Delta t=(b-a)/n\!\,$. Če je $t_{i}\!\,$ $i\!\,$-ta točka na $[a,b]\!\,$, da $\mathbf {\vec {r}} (t_{i})\!\,$ lego $i\!\,$-te točke na krivulji. Vendar pa je treba namesto izračuna razdalj med naslednjimi točkami izračunati njihove vektorje premikov $\Delta \mathbf {\vec {r}} _{i}\!\,$. Kot prej vrednotenje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ v vseh točkah na krivulji in izračun skalarnega produkta z vsakim vektorjem premikov da infinitezimalni prispevek vsake particije $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ na ${\mathcal {C}}\!\,$. Če se pusti, da velikost particij pade na nič, se dobi vsoto:

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\!\,.$

Z izrekom o povprečni vrednosti se vidi, da je vektor premika med sosednjima točkama na krivulji:

$\Delta \mathbf {\vec {r}} _{i}=\mathbf {\vec {r}} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {\vec {r}} '(t_{i})\,\Delta t\!\,.$

Če se to vstavi v zgornjo Riemannovo vsoto, izhaja:

$I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t_{i}))\cdot \mathbf {\vec {r}} '(t_{i})\,\Delta t\!\,,$

kar je Riemannova vsota za zgoraj definirani integral.

Neodvisnost poti

Če je vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ gradient skalarnega polja $G\!\,$ (to je, če je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ konservativno), da je:

$\mathbf {\vec {F}} =\mathbf {\vec {\nabla }} G\!\,,$

potem je po verižnem pravilu za več spremenljivk odvod kompozituma $G\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (t)\!\,$ enak:

${\frac {\operatorname {d} G(\mathbf {\vec {r}} (t))}{\operatorname {d} t}}=\mathbf {\vec {\nabla }} G(\mathbf {\vec {r}} )\cdot \mathbf {\vec {r}} '(t)=\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t))\cdot \mathbf {\vec {r}} '(t)\!\,,$

kar je integrand za krivuljni integral $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ na $\mathbf {\vec {r}} (t)\!\,$. Iz tega sledi, da je glede na pot ${\mathcal {C}}\!\,$:

$\int _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {r}} =\int _{a}^{b}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t))\cdot \mathbf {\vec {r}} '(t)\,\operatorname {d} t=\int _{a}^{b}{\frac {\operatorname {d} G(\mathbf {\vec {r}} (t))}{\operatorname {d} t}}\,\operatorname {d} t=G(\mathbf {\vec {r}} (b))-G(\mathbf {\vec {r}} (a))\!\,.$

Z drugimi besedami, integral $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ nad ${\mathcal {C}}\!\,$ je odvisen izključno od vrednosti $G\!\,$ v točkah $\mathbf {\vec {r}} (b)\!\,$ in $\mathbf {\vec {r}} (a)\!\,$ in je torej neodvisen od poti med njima. Zaradi tega se krivuljni integral konservativnega vektorskega polja imenuje neodvisen od poti.

Rabe

Krivuljni integral ima v fiziki veliko rab. Delo, opravljeno na telesu, ki se giblje po krivulji ${\mathcal {C}}\!\,$ znotraj polja sil, predstavljenega kot vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, je na primer krivuljni integral $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ na ${\mathcal {C}}\!\,$.

Za drugi zgled glej Amperov zakon.

Pretok skozi krivuljo

Za vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!\,$, $\mathbf {\vec {F}} (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\!\,$, je krivuljni integral po krivulji ${\mathcal {C}}\subset U\!\,$, imenovan tudi integral pretoka, definiran z uporabo po delih gladke parametrizacije $\mathbf {\vec {r}} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}},\mathbf {\vec {r}} (t)=(x(t),y(t))\!\,$, kot:

$\int _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {r}} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}\,\operatorname {d} t=\int _{a}^{b}\left(-Q\,\operatorname {d} x+P\,\operatorname {d} y\right)\!\,.$

Tukaj je $\cdot \!\,$ skalarni produkt in $\mathbf {\vec {r}} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))\!\,$ pravokotnica vektorja hitrosti $\mathbf {\vec {r}} '(t)=(x'(t),y'(t))\!\,$ v smeri urinega kazalca.

Pretok se izračuna v usmerjenem smislu: krivulja ${\mathcal {C}}\!\,$ ima določeno smer naprej od $\mathbf {\vec {r}} (a)\!\,$ do $\mathbf {\vec {r}} (b)\!\,$, pretok pa se šteje za pozitivnega, ko je $\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} (t))\!\,$ na strani vektorja hitrosti naprej $\mathbf {\vec {r}} '(t)\!\,$ v smeri urinega kazalca.

Kompleksni krivuljni integral

V kompleksni analizi je krivuljni integral definiran z množenjem in seštevanjem kompleksnih števil. Predpostavi se, da je $U\!\,$ odprta podmnožica kompleksne ravnine $\mathbb {C} \!\,$, $f\colon U\to \mathbb {C} \!\,$ funkcija in ${\mathcal {L}}\subset U\!\,$ krivulja končne dolžine, parametrizirana z $\gamma \colon [a,b]\to {\mathcal {L}}\!\,$, kjer je $\gamma (t)=x(t)+iy(t)\!\,$. Krivuljni integral:

$\int _{\mathcal {L}}f(z)\,\operatorname {d} z\!\,$

se lahko definira tako, da se interval $[a,b]\!\,$ razdeli na $a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}n=b$ in upošteva izraz:

$\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}\!\,.$

Integral je potem limita te Riemannove vsote, ko se dolžine intervalov delitve približujejo ničli.

Če je parametrizacija $\gamma \!\,$ zvezno odvedljiva, se lahko krivuljni integral ovrednoti kot integral funkcije realne spremenljivke:

$\int _{\mathcal {L}}f(z)\,\operatorname {d} z=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\operatorname {d} t\!\,.$

Ko je ${\mathcal {L}}\!\,$ zaprta krivulja (začetna in končna točka se ujemata), se krivuljni integral pogosto označuje kot ${\textstyle \oint _{\mathcal {L}}f(z)\,\operatorname {d} z\!\,}$, včasih v inženirstvu imenovan tudi ciklični integral.

Da bi se vzpostavilo polno analogijo s krivuljnim integralom vektorskega polja, se je treba vrniti k definiciji odvedjljivosti v računu več spremenljivk. Gradient je definiran z Rieszevim reprezentacijskim izrekom, skalarni produkti v kompleksni analizi pa vključujejo konjugacijo (gradient funkcije $\gamma \!\,$ pri nekem $z\in \mathbb {C} \!\,$ bi bil ${\overline {\gamma '(z)}}\!\,$, kompleksni skalarni produkt pa bi v definiciji krivuljnega integrala vektorskega polja pridodal dvakrat konjugirano funkcijo $\gamma '\!\,$).

Krivuljni integral glede na konjugirano kompleksni diferencial ${\overline {\operatorname {d} z}}\!\,$ je definiran kot:

$\int _{\mathcal {L}}f(z)\,{\overline {\operatorname {d} z}}:={\overline {\int _{\mathcal {L}}{\overline {f(z)}}\,\operatorname {d} z}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,\operatorname {d} t\!\,.$

Krivuljne integrale kompleksnih funkcij je mogoče ovrednotiti z rabo mnogih tehnik. Najbolj neposredna je razdelitev na realni in imaginarni del, s čimer se problem reducira na vrednotenje dveh realnih krivuljnih integralov. Cauchyjev integralski izrek se lahko rabi za enačenje krivuljnega integrala analitične funkcije z istim integralom na priročnejši krivulji. Prav tako pomeni, da je na zaprti krivulji, ki obdaja območje, kjer je funkcija $f(z)\!\,$ analitična brez singularnosti, vrednost integrala preprosto enaka nič, ali pa, če območje vključuje singularnosti, izrek o ostankih izračuna integral v smislu singularnosti. To pomeni tudi neodvisnost kompleksnega krivuljnega integrala od poti za analitične funkcije.

Zgled

Naj je funkcija $f(z)=1/z\!\,$ in naj je kontura ${\mathcal {L}}\!\,$ enotska krožnica v nasprotni smeri okrog točke 0, parametrizirana kot $z(t)=e^{it}\!\,$ z $t\in [0,2\pi ]\!\,$ s pomočjo kompleksne eksponentne funkcije. Z zamenjavo se dobi:

$\oint _{\mathcal {L}}{\frac {1}{z}}\,\operatorname {d} z=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,\operatorname {d} t=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,\operatorname {d} t=i\int _{0}^{2\pi }\,\operatorname {d} t=i(2\pi -0)=2\pi i\!\,.$

To je tipični rezultat Cauchyjeve integralske formule in izreka o ostankih.

Razmerje med kompleksnim krivuljnim integralom in krivuljnim integralom vektorskega polja

Če se kompleksna števila obravnava kot dvorazsežne vektorje, ima krivuljni integral funkcije s kompleksnimi vrednostmi $f(z)\!\,$ realni in kompleksni del, ki sta enaka krivuljnemu integralu in integralu pretoka vektorskega polja. To ustreza konjugirani funkciji ${\overline {f(z)}}\!\,$. Natančneje, če $\mathbf {\vec {r}} (t)=(x(t),y(t))\!\,$ parametrizira ${\mathcal {L}}\!\,$ in $f(z)=u(z)+iv(z)$ ustreza vektorskemu polju $\mathbf {\vec {F}} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy))\!\,$, potem je:

${\begin{aligned}\int _{\mathcal {L}}f(z)\,\operatorname {d} z&=\int _{\mathcal {L}}(u+iv)(\operatorname {d} x+i\,\operatorname {d} y)\\&=\int _{\mathcal {L}}(u,-v)\cdot (\operatorname {d} x,\operatorname {d} y)+i\int _{\mathcal {L}}(u,-v)\cdot (\operatorname {d} y,-\operatorname {d} x)\\&=\int _{\mathcal {L}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {r}} +i\int _{\mathcal {L}}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\cdot \operatorname {d} \mathbf {\vec {r}} ^{\perp }\!\,.\end{aligned}}$

Po Cauchyjevem integralskem izreku je levi integral enak nič, ko je $f(z)\!\,$ analitična (zadovoljuje Cauchy-Riemannovi enačbi) za poljubno gladko zaprto krivuljo ${\mathcal {L}}\!\,$. Ustrezno sta po Greenovem izreku desna integrala enaka nič, ko je $\mathbf {\vec {F}} ={\overline {f(z)}}\!\,$ nesučno (brez rotorjev) in nestisljivo (brez divergenc). Pravzaprav sta Cauchy-Riemannovi enačbi za $f(z)\!\,$ identični izginotju rotorja in divergence za $\mathbf {\vec {F}} \!\,$.

Po Greenovem izreku je površina območja, ki ga omejuje gladka, zaprta, pozitivno usmerjena krivulja ${\mathcal {L}}\!\,$, podana z integralom ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{\mathcal {L}}{\overline {z}}\,\operatorname {d} z\!\,}$. To dejstvo se rabi na primer pri dokazu izreka o površini.

Kvantna mehanika

Formulacija integrala po poti v kvantni mehaniki se dejansko ne nanaša na krivuljne integrale v tem smislu, temveč na funkcijske integrale, torej na integrale po prostoru poti, funkcije možne poti. Vendar pa so integrali po poti v smislu tega članka pomembni v kvantni mehaniki. Kompleksno konturno integriranje se na primer pogosto rabi pri ocenjevanju verjetnostne amplitude v kvantni teoriji sipanja.

Glej tudi

• izrek Gaussa in Ostrogradskega
• izrek o gradientu
• konturno integriranje
• Nachbinov izrek
• dolžinski element
• ploskovni integral
• prostorninski element
• prostorninski integral

Viri

• Ahlfors, Lars Valerian (1966), Complex Analysis (2. izd.), New York: McGraw-Hill – prek Google Knjige
• Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, COBISS 229576192, ISBN 86-365-0587-9
• Tang, Kwong-Tin (30. november 2006), Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-54-030268-1 – prek Google Knjige