Krivočrtni koordinatni sistem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivočrtne, afine in kartezične koordinate v dvorazsežnem prostoru.

Krivočrtni koordinatni sistem je koordinatni sistem v Evklidskem prostoru v katerem so lahko koordinatne premice ukrivljene. Te koordinate se lahko dobijo iz kartezičnega koordinatnega sistema z uporabo preslikave, ki je lokalno inverzibilna v vsaki točki. To pa pomeni, da lahko v vsaki točki, ki je dana v kartezičnem koordinatnem sistemu pretvorimo koordinate v krivočrtne in nazaj.

Izraz je skoval francoski matematik Gabriel Lamé (1795 - 1870).

V dvorazsežnem prikažemo lego točke s koordinatama (), vektor pa v obliki kjer sta bazna vektorja. Na podoben način lahko opišemo lego neke točke v krivočrtnem koordinatnem sistemu. Koordinate v tem sistemu pa označimo kot (). Vektor lege pa z . Količini in sta povezani s preslikavo

Bazna vektorja in sta povezana z

.

Koordinatne črte so nivojske krivulje za in v dvorazsežni ravnini.

Zgled za krivočrtne koordinate je polarni koordinatni sistem. V tem primeru je preslikava enaka

Splošna oblika krivočrtnih koordinat[uredi | uredi kodo]

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi splošne oblike krivočrtnih koordinat.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je lega točke P(x, y, z) določena s presekom treh med seboj pravokotnih ravnin x = konst., y = konst. z = konst. Koordinate x, y, in z so povezane s tremi novimi vrednostmi q1, q2 in q3 z enačbami

x = x(q1,q2,q3)     neposredna preslikava
y = y(q1,q2,q3)     (krivočrtne v kartezične koordinate)
z = z(q1,q2,q3).

Zgornje enačbe lahko zapišemo tudi kot

q1 = q1(x, y, z)     inverzna preslikava
q2 = q2(x, y, z)     (kartezične v krivočrtne koordinate)
q3 = q3(x, y, z).

Funkcija preslikav je bijektivna in zadovoljuje zahteve v domeni:

To pa lahko zapišemo kot

.

Dano točko lahko opišemo tako, da podamo koordinate x, y in z ali pa koordinate q1, q2 in q3. Inverzna enačba opisuje ploskev v novih koordinatah in presečišče treh ploskev določa lego točke v trirazsežnem prostoru. Ploskve q1 = konstanta, q2 = konstanta in q3 = konstanta, se imenujejo koordinatne ploskve. Prostorske krivulje, ki jih dobimo na presečiščih dveh ploskev, pa so koordinatne črte. Koordinatne osi so določene kot tangente na koordinatne črte na preseku treh ploskev. To v splošnem stalne smeri v prostoru, kar velja za kartezične koordinate. Količina (q1, q2, q3) so krivočrtne koordinate točke P(q1, q2, q3).

V splošnem pa so (q1, q2,.... qn) krivočrtne koordinate v n-razsežnem prostoru.

Zgled: Sferne koordinate[uredi | uredi kodo]

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi sfernih koordinat. Ploskve: r - sfere, θ - stožci, φ - polravnine; smeri: r - straight beams, θ – vertikalni polkrogi, φ – horizontalne krožnice; osi: r – ravna smer, θ – tangente na vertikalne polkrožnice, φ – tangente na horizontalne krožnice.

Sferne koordinate so najpogosteje uporabljene krivočrtne koordinate. Krivočrtne koordinate (q1, q2, q3).

V tem sistemu koordinate običajno označujemo z r (razdalja od pola, velja r ≥ 0), θ (zenitna razdalja ali širina 0 ≤ θ ≤ 180°) in φ (azimut ali dolžina 0 ≤ φ ≤ 360°).

Neposredna povezava med kartezičnimi in sfernimi koordinatami je

.

Z rešivijo za r, θ, in φ, dobimo obratne odnose med sfernimi in kartezičnimi koordinatami

.

Krivočrtna lokalna baza[uredi | uredi kodo]

Pojem baze[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Baza (linearna algebra).

Da bi definirali vektor s pomočjo koordinat potrebujemo še pojem baze. Baza je v trirazsežnem prostoru množica linearno neodvisnih vektorjev, ki jih imenujemo bazni vektorji. Vsak bazni vektor je povezan z eno koordinato pripadajoče razsežnosti. Vsak vektor lahko prikažemo kot vsoto vektorjev , ki jih dobimo kot zmnožek baznega vektorja () s skalarnim koeficientom (), ki ga imenujemo komponenta. Vsak vektor ima natančno komponento v vsaki razsežnosti in ga lahko prikažemo kot

.

Za takšen koordinatni sistem in njegovo bazo se zahteva, da je vsaj ena vrednost velja

. Ta pogoj se imenuje linearna neodvisnost.

Linearna neodvisnost pravi, da ne obstojajo bazni vektorji z velikostjo nič, ker bi v tem primeru dobili vektor z velikostjo nič, če bi ga množili s poljubno komponento. Nekoplanarni vektorji so linearno neodvisni. Katerikoli trije nekoplanarni vektorji lahko služijo kot baza v treh razsežnostih.

Bazni vektorji v krivočrtnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

Za splošno obliko krivočrtnih koordinat se bazni vektorji in komponente spreminjajo od točke do točke. Poglejmo n-razsežni vektor , ki je izražen v kartezičnih koordinatah kot

.

Če spremenimo bazne vektorje v potem vektor v novi bazi opisuje isti vektor

,

kjer so

  • komponente vektorja v novi bazi.

Torej je vsota, ki opisuje vektor v novi bazi je sestavljena iz drugih vektorjev, vsota pa ostane enaka.

Kovariantna in kontravariantna baza[uredi | uredi kodo]

Bazne vektorje lahko povežemo s koordinatnim sistemom na dva načina

  • lahko jih postavimo tako, da so kolinearni z osmi
  • lahko jih postavimo tako, da so pravokotni (normalni) na koordinatne ploskve.

V prvem primeru se vektorji transformirajo kot kovariantni vektorji. V drugem primeru se bazni vektorji transformirajo kot kontravariantni vektorji. Pri označevanju teh dveh vrst baznih vektorjev uporabljamo dva načina. Kovariantne vektorje označujemo s spodnjimi oznakami, kontravariantne vektorje pa označujemo z zgornjimi oznakami. To pomeni, da v odvisnosti od tega kako jih zgradimo, imamo za splošne krivočrtne koordinate dve skupini baznih vektorjev v vsaki točki: za kovariantno bazo in za kontravariantno bazo.

Vektor lahko izrazimo v katerikoli bazi

.

Pri tem je lahko vektor kovarianten ali kontravarianten v odvisnosti od vrste njegovih komponent.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]