Kristalografska točkovna skupina

Vrtenje

Zrcaljenje

Inverzija

Kombinacija rotacije 2. reda, inverzije in zrcaljenja

Kristalografska točkovna skupina je niz simetrijskih operacij, na primer rotacij in zrcaljenj, v katerih ostane pri premiku vsakega atoma kristala na položaj drugega istovrstnega atoma točka, okoli katere poteče operacija, fiksna. To pomeni, da bi neskončen kristal pred operacijo in po operaciji v svoji točkovni skupini izgledal popolnoma enako. V klasifikaciji kristalov vsaka točkovna skupina ustreza kristalnemu razredu.

Število točkovnih skupin v treh razsežnostih je teoretično neomejeno, v kristalografiji pa je njihovo število omejeno na 32, ker morajo biti združljive z diskretno translacijsko simetrijo kristalne mreže. 32 točkovnih skupin je leta 1830 odkril Johann Friedrich Christian Hessel z opazovanjem zunanjih oblik kristalov.

Točkovna skupina kristala med drugim določa tudi nekatere njegove optične lastnosti, na primer dvolomnost in Pockelsov efekt.

Označevanje

Točkovne skupine so opisane s komponentami njihovih simetrij. Na razpolago je nekaj standardiziranih načinov označevanja, ki jih uporabljajo kristalografi, mineralogi in fiziki.

Schönfliesova notacija

V Schönfliesovi notaciji so točkovne skupine označene s črkami in indeksi. Simboli, ki se uporabljajo v kristalografiji, imajo naslednje pomene:

• Črka O (oktaeder) pomeni, da ima skupina simetrijo oktaedra (ali kocke) z inverznimi osmi simetrije (O_h) ali brez njih (O).
• Črka T (tetraeder) označuje skupino, ki ima simetrijo tetraedra. T_d vključuje inverzne osi, T jih izključuje, T_h pa predstavlja T s centrom simetrije.
• C_n (cikličen) označuje skupino z n-števno osjo simetrije. C_nh je C_n z ravnino simetrije, pravokotno na os simetrije. C_nv je C_n z ravninami simetrije, vzporednimi z osjo simetrije.
• S_n (iz nemškega Spiegl, zrcalo) označuje skupino, ki ima samo n-števno os simetrije in nanjo pravokotno ravnino simetrije.
• D_n (dvoštevno) označuje skupino z n-števno osjo simetrije in dvoštevnimi osmi, pravokotnimi nanjo. D_nh ima tudi ravnino simetrije, pravokotno na n-števno os. D_nv ima poleg elementov D_n še ravnine simetrije, vzporedne z n-števno osjo.

V dvorazsežnem in trorazsežnem prostoru je n zaradi kristalografskega restrikcijskega teorema omejen na vrednosti 1, 2, 3, 4 ali 6.

n	1	2	3	4	6
Cn	C1	C2	C3	C4	C6
Cnv	C1v=C1h	C2v	C3v	C4v	C6v
Cnh	C1h	C2h	C3h	C4h	C6h
Dn	D1=C2	D2	D3	D4	D6
Dnh	D1h=C2v	D2h	D3h	D4h	D6h
Dnd	D1d=C2h	D2d	D3d	D4d	D6d
Sn	S1=C1h	S2	S3=C3h	S4	S6

Skupini D_4d in D_6d sta nedopustni, ker vsebujeta nepravi rotaciji z n=8 oziroma 12. 27 točkovnih skupin iz zgornje preglednice ter T, T_d, T_h, O in O_h da skupno 32 kristalografskih točkovnih skupin.

Hermann-Mauguinova notacija

Za opis kristalografskih točkovnih skupin se občajno uporablja skrajšana oblika Hermann-Mauguinovega zapisa, v katerem imajo skupine naslednje oznake:

• 1, 1
• 2, m, ²⁄_m
• 222, mm2, mmm
• 4,4, ⁴⁄_m, 422, 4mm, 42m, ⁴⁄_mmm
• 3, 3, 32, 3m, 3m
• 6, 6, ⁶⁄_m, 622, 6mm, 62m, ⁶⁄_mmm
• 23, m3, 432, 43m, m3m

Notacija orbifold

V geometriji je notacija orbifold sistem, ki ga je populariziral John Horton Conway za opis simetrijskih grup v dvorazsežnih prostorih s konstantno ukrivljenostjo. Notacija ima to prednost, da opiše grupe na način, ki prikaže mnogo lastnosti grupe, še posebno orbifold, ki je kvocient evklidskega prostora in opazovane grupe.

Z notacijo orbifold se lahko prikaže tudi ravninske in linearne simetrijske grupe na evklidski ravnini (E²), grupe na sferi (S²) in njihove analoge na hiperbolični ravnini (H²).

Ekvivalentne oznake vseh treh notacij in imena kristalografskih točkovnih skupin so prikazane v naslednji preglednici:

Hermann-Mauguin	Schoenflies	Orbifold	Ime
1	C1	11	hemipinakoidna
2	C2	22	hemiprizmatska osna
222	D2	222	rombosfenoedrična
4	C4	44	tetragonalna piramidna
3	C3	33	trigonalna piramidna
6	C6	66	heksagonalna piramidna
23	T	332	tetartoedrična
1	S2	1x	pinakoidna
m	C1h	1*	hemiprizmatska brezosna
mm2	C2v	*22	rombopiramidna
2	S4	2x	tetragonalna sfenoedrična
3	S6	3x	romboedrična
6	C3h	3*	trigonalna bipiramidna
m3	Th	3*2	didodekaedrična
2/m	C2h	2*	prizmatska
mmm	D2h	*222	rombobipiramidna
4/m	C4h	4*	tetragonalna bipiramidna
32	D3	223	trigonalna trapezoerdična
6/m	C6h	6*	heksagonalna bipiramidna
432	O	432	gigoedrična
422	D4	224	tetragonalna trapezoedrična
3m	C3v	*33	ditrigonalna piramidna
622	D6	226	heksagonalna trapezoedrična
43m	Td	*332	heksakistetraedrična
4mm	C4v	*44	ditetragonalna piramidna
3m	D3d	2*3	ditrigonalna skalenoedrična
6mm	C6v	*66	diheksagonalna piramidna
m3m	Oh	*432	heksakisoktaedrična
42m	D2d	2*2	tetragonalna skalenoedrična
62m	D3h	*223	titrigonalna bipiramidna
4/m mm	D4h	*224	ditetragonalna bipiramidna
6/m mm	D6h	*226	diheksagonalna bipiramidna

Zunanje povezave

• Slikovni prikaz 32 točkovnih grup