Kitab al-jabr wa-l-muqabala

Jedrnata knjiga o računskih metodah s seštevanjem in prilagajanjem
	Naslovnica rokopisa iz 9. stoletja
Avtor	Mohamed ibn Musa al-Hvarizmi
Naslov izvirnika	كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
Ilustrator	al-Hvarizmi
Država	Abasidski kalifat
Jezik	Arabic
Subjekt	Algebra
Datum izida	820
Izvorno besedilo	كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة arabsko Wikivir

Kitab al-jabr wa-l-muqabala (arabsko الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة),^[1]^[2] poslovenjeno kot Jedrnata knjiga o računskih metodah s seštevanjem in prilagajanjem, običajno okrajšano kot al-Džabr ali Algebra (الجبر), je arabska matematična razprava o algebri, ki jo je okoli leta 820 v Bagdadu napisal perzijski polihistor al-Hvarizmi.

Al-Džabr je temeljno delo v zgodovini matematike. Iz njenega naslova izhaja izraz algebra, iz latiniziranega imena njenega avtorja pa izraz algoritem.

Algebra vsebuje izčrpen opis reševanja pozitivnih korenov polinomov prve in druge stopnje (linearna in kvadratna enačba).^[3]^[a] Bila je prvo besedilo, ki je poučevalo osnovno algebro, in prvo, ki je poučevalo algebro zaradi nje same.^[b] Al-Hvarizmi je uvedel tudi temeljni koncept 'redukcije' in 'uravnoteževanja', na kar se je izraz al-jabr prvotno nanašal, prestavitev odštetih členov na drugo stran enačbe, tj. izničenje enakih členov na nasprotnih straneh enačbe.^[c] Zgodovinar matematike Victor J. Katz meni, da je Algebra prvo pravo algebrsko besedilo, ki še vedno obstaja.^[5] Algebro je Robert iz Chesterja leta 1145 prevedel v latinščino in se je do 16. stoletja uporabljala kot glavni matematični učbenik evropskih univerz.^[6]^[7]^[8]

Besedila z enakim naslovom je objavilo tudi več drugih avtorjev, med njimi Abu Hanifa Dinavari, Abu Kamil, Abu Mohamed al-Adli, Abu Jusuf al-Misisi, Abd al-Hamid ibn Turk, Sind ibn Ali, Sahl ibn Bišr in Šaraf al-Din al-Ṭusi.

Vsebina

Knjiga je zbirka in razširitev znanih pravil za reševanje kvadratnih enačb in nekaterih drugih matematičnih problemov ter velja za temelj algebre, ki jo je uveljavila kot samostojno disciplino. Beseda algebra izhaja iz imena ene od osnovnih operacij z enačbami, opisanih v tej knjigi.^[9]

Kvadratne enačbe

Knjiga razvršča kvadratne enačbe v eno od šestih osnovnih vrst in ponuja algebrske in geometrijske metode za reševanje teh osnovnih vrst. Zgodovinar Carl Boyer glede pomanjkanja sodobnih abstraktnih zapisov v knjigi ugotavlja naslednje:

"... al-Hvarizmijeva akgebra je povsem retorična, brez sinkope, ki jo najdemo v grški aritmetiki ali v Brahmaguptovem delu. Celo števila so bila zapisana z besedami in ne s simboli!"

— Carl B. Boyer, Zgodovina matematike^[4]

Enačbe so besedno zapisane z izrazi "kvadrat", kar se zdaj zapiše kot "x²", "koren", kar se zapiše z "x", in "števila" ("konstante"). Število "42", je zapisano kot "dvainštirideset". Opisanih je šest vrst kvadratnih enačb:

kvadrat enak korenu (ax² = bx)
kvadrat enak števiku (ax² = c)
koren enak številu (bx = c)
kvadrat plus koren enaka številu (ax² + bx = c)
kvadrat plus število enaka korenu (ax² + c = bx)
koren plus število enaka kvadratu (bx + c = ax²)

Islamski matematiki se za razliko od indijskih sploh niso ukvarjali z negativnimi števili, zato se enačba, kot je bx + c = 0, v klasifikaciji ne pojavlja, ker nima pozitivnih rešitev, če so vsi koeficienti pozitivni. Podobno so bile enačbe tipa 4, 5 in 6, ki so sodobnemu matematiku videti enakovredne, ločene, ker morajo biti vsi koeficienti pozitivni.^[10]

Operacija "al-džabr" ("vsiljevanje", "obnavljanje") je premikanje pomanjkljive količine z ene strani enačbe na drugo stran. Al-džabr izraz, ki se v sodobnem zapisu zapiše kot

x² = 40x − 4x²,

spremeni v

5x² = 40x.

Ponavljajoča se uporaba tega pravila iz izračunov izloči negativne količine.

"Al-muqābala" (المقابله, "uravnoteženje" ali "ustrezanje") pomeni odštevanje iste pozitivne količine na obeh straneh enačbe:

x² + 5 = 40x + 4x²

spremeni v

5 = 40x + 3x².

Ponavljajoča se uporaba tega pravila povzroči, da se količine vsake vrste ("kvadrat"/"koren"/"število") v enačbi pojavijo največ enkrat, kar pomaga prepoznati, da obstaja le 6 osnovnih rešljivih vrst problema, če je omejen na pozitivne koeficiente in rešitve.

Nadaljnji deli knjige se ne zanašajo na reševanje kvadratnih enačb.

Površina in prostornina

Drugo poglavje knjige katalogizira metode za določanje površine in prostornine teles. Te vključujejo približke števila pi (π), podane na tri načine: 3 1/7, √10 in 62832/20000. Slednji približek, enak 3,1416, se je že prej pojavil v indijski Aryabhatiyi iz leta 499.^[11]

Druge teme

Al-Hvarizmi pojasnjuje judovski koledar in 19-letni metonski cikel, opisan kot konvergenca lunarnih mesecev in sončnih let.^[11]

Približno polovica knjige obravnava islamska pravila dedovanja, ki so kompleksna in zahtevajo spretnost reševanje algebrskih enačb prvega reda.^[12]

Opombe

↑ Arabci so na splošno cenili dober in jasen argument od premise do zaključka, pa tudi sistematično organizacijo – vidike, v katerih se nista blestela niti Diofant niti indijski matematiki.
↑ Al-Hvarizmi je v nekem smislu bolj upravičen, da se ga imenuje 'oče algebre' kot Diofant, ker je bil prvi, ki je poučeval algebro v osnovni obliki. Diofant se je zaradi nje same ukvarja predvsem s teorijo števil.^[4]
↑ Kaj natančno pomenita izraza al-jabr in mukabala, ni povsem jasno. Običajna razlaga je podobna tisti, ki je implicirana v zgornjem prevodu. Beseda al-jabr je verjetno pomenila nekaj takega kot 'obnova' ali 'dopolnitev' in zdi se, da se je nanašala na prenos odštetih členov na drugo stran enačbe, kar je razvidno iz razprave. Beseda mukabala naj bi se nanašala na 'zmanjšanje' ali 'uravnoteženje', torej na izničenje podobnih členov na nasprotnih straneh enačbe.^[4]

Sklici

↑ I grandi innovatori del passato: Al Khwārizmī. 28. december 2022. Pridobljeno 3. maja 2025
↑ Franco Ghione. Kitab al-Jabr wa al-muqābala. Pridobljeno 3. maja 2025
↑ Boyer, Carl B. (1991). »The Arabic Hegemony«. A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 228–229. ISBN 0-471-54397-7.
1 2 3 Boyer 1991.
↑ Katz, Victor J.; Barton, Bill (december 2006). »Stages in the history of algebra with implications for teaching«. Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7. str. 190
↑ Fred James Hill, Nicholas Awde (2003). A History of the Islamic World. Hippocrene Books. str. 55. ISBN 9780781810159.}}
↑ Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. »Al-Khwarizmi«. University of Kentucky.
↑ »Islam Spain and the history of technology«. www.sjsu.edu. Pridobljeno 24. januarja 2018.
↑ Robert of Chester (1915). Algebra of al-Khowarizmi. Macmillan. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 18. novembra 2018.
↑ Berggren, J. L. (1986). »Algebra in Islam«. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. str. 99–126. doi:10.1007/978-1-4612-4608-4_4. ISBN 9781461246084. Glej str. 103
1 2 B.L. van der Waerden, A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether; Berlin: Springer-Verlag, 1985. ISBN 3-540-13610-X
↑ David A. King (2003). »Mathematics applied to aspects of religious ritual in Islam«. V I. Grattan-Guinness (ur.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Vol. 1. JHU Press. str. 83. ISBN 9780801873966.

Dodatno branje

Hughes, Barnabas B. ur., Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr: A New Critical Edition, (in Latin) Wiesbaden: F. Steiner Verlag, 1989. ISBN 3-515-04589-9
Rashed, R. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, London, 1994.

[4] Arabci so na splošno cenili dober in jasen argument od premise do zaključka, pa tudi sistematično organizacijo – vidike, v katerih se nista blestela niti Diofant niti indijski matematiki.

[6] Al-Hvarizmi je v nekem smislu bolj upravičen, da se ga imenuje 'oče algebre' kot Diofant, ker je bil prvi, ki je poučeval algebro v osnovni obliki. Diofant se je zaradi nje same ukvarja predvsem s teorijo števil.^[4]

[7] Kaj natančno pomenita izraza al-jabr in mukabala, ni povsem jasno. Običajna razlaga je podobna tisti, ki je implicirana v zgornjem prevodu. Beseda al-jabr je verjetno pomenila nekaj takega kot 'obnova' ali 'dopolnitev' in zdi se, da se je nanašala na prenos odštetih členov na drugo stran enačbe, kar je razvidno iz razprave. Beseda mukabala naj bi se nanašala na 'zmanjšanje' ali 'uravnoteženje', torej na izničenje podobnih členov na nasprotnih straneh enačbe.^[4]

[1] I grandi innovatori del passato: Al Khwārizmī. 28. december 2022. Pridobljeno 3. maja 2025

[:0-2] Franco Ghione. Kitab al-Jabr wa al-muqābala. Pridobljeno 3. maja 2025

[Boyer_1991-3] Boyer, Carl B. (1991). »The Arabic Hegemony«. A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 228–229. ISBN 0-471-54397-7.

[FOOTNOTEBoyer1991-5] 1 2 3 Boyer 1991.

[8] Katz, Victor J.; Barton, Bill (december 2006). »Stages in the history of algebra with implications for teaching«. Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7. str. 190

[9] Fred James Hill, Nicholas Awde (2003). A History of the Islamic World. Hippocrene Books. str. 55. ISBN 9780781810159.}}

[10] Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. »Al-Khwarizmi«. University of Kentucky.

[11] »Islam Spain and the history of technology«. www.sjsu.edu. Pridobljeno 24. januarja 2018.

[12] Robert of Chester (1915). Algebra of al-Khowarizmi. Macmillan. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 18. novembra 2018.

[13] Berggren, J. L. (1986). »Algebra in Islam«. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. str. 99–126. doi:10.1007/978-1-4612-4608-4_4. ISBN 9781461246084. Glej str. 103

[BLvdW-14] 1 2 B.L. van der Waerden, A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether; Berlin: Springer-Verlag, 1985. ISBN 3-540-13610-X

[15] David A. King (2003). »Mathematics applied to aspects of religious ritual in Islam«. V I. Grattan-Guinness (ur.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Vol. 1. JHU Press. str. 83. ISBN 9780801873966.

[1]

[2]

[3]

[a]

[b]

[c]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[4]

[10]

[11]

[12]