Jedro (matrika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka ) je v linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0.

Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora [1]

Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt) matrike A.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Jedro matrike m × n matrike A je množica

[2]

kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb:

Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Obravnavajmo matriko

Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (xyz) ∈ R3 za katere velja

To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb, ki vključujejo x, y in z:

To lahko pišemo v matrični obliki:

Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:

Ponovno pisanje nam da:

Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar:

Ker pa je c spremenljivka, lahko to poenostavimo v

Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R3).

Lastnosti podprostora[uredi | uredi kodo]

Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:

  1. Null(A) vedno vključuje [[ničelni vektor. #Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
  2. Če je x ∈ Null(A) in je c skalar, potem je tudi c x ∈ Null(A).

Baza[uredi | uredi kodo]

Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije. To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic, da bi našli bazo za ničelni prostor:

Vhod m × n matrika A.
Izhod baza ničelnega prostora A
  1. Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika.
  2. Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x1x2, ..., xn so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
  3. za vsako prosto spremenljivko xi, izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je xi = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A.

Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A

V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x3, x5 in x6 kot prostimi spremenljivkami so

To lahko zapišemo kot

Torej so trije vektorji

baza ničelnega prostora za A.

Nehomogene enačbe[uredi | uredi kodo]

Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:

Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja

To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A.

Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja

kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b. Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Linearna algebra, kot se obravnava tukaj, je zelo dobro osnovana matematična panoga, za katero je zelo veliko virov. Skoraj vse iz tega članka se najde v Lay 2005, Meyer 2001 in Strang 2005.
  2. ^ Te enačbe uporabljajo notacijo množice.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]