Jedro (matrika)

Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka ${\mbox{Ker}}(A)$) je v linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0.

Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora

Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt) matrike A.

Definicija

Jedro matrike m × n matrike A je množica

${\mbox{N}}(\mathbf {A} )={\mbox{Null}}(\mathbf {A} )={\mbox{Ker}}(\mathbf {A} )=\left\{{\textbf {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:\mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {0}}\right\}{\text{,}}$

kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb:

$\mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}$

Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.

Zgled

Obravnavajmo matriko

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$

Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (x, y, z) ∈ R³ za katere velja

${\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}$

To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb, ki vključujejo x, y in z:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}$

To lahko pišemo v matrični obliki:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

Ponovno pisanje nam da:

${\begin{alignedat}{7}x=\;&&-{\frac {1}{16}}c\,\,\,\\y=\;&&-{\frac {13}{8}}c.\end{alignedat}}$

Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}.$

Ker pa je c spremenljivka, lahko to poenostavimo v

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$

Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R³).

Lastnosti podprostora

Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:

1. Null(A) vedno vključuje ničelni vektor.
2. Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
3. Če je x ∈ Null(A) in je c skalar, potem je tudi c x ∈ Null(A).

Baza

Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije. To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic, da bi našli bazo za ničelni prostor:

Vhod m × n matrika A.

Izhod baza ničelnega prostora A

1. Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika.
2. Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x₁, x₂, ..., x_n so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
3. za vsako prosto spremenljivko x_i, izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je x_i = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A.

Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A

$\left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&-8\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}$

V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x₃, x₅ in x₆ kot prostimi spremenljivkami so

${\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&3x_{3}&&\;-\;&&2x_{5}&&\;+\;&&8x_{6}&\\x_{2}&&\;=\;&&-5x_{3}&&\;+\;&&x_{5}&&\;-\;&&4x_{6}&\\x_{4}&&\;=\;&&&&\;-\;&&7x_{5}&&\;+\;&&9x_{6}&.\end{alignedat}}$

To lahko zapišemo kot

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{bmatrix}}=x_{3}{\begin{bmatrix}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}+x_{5}{\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{bmatrix}}+x_{6}{\begin{bmatrix}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{bmatrix}}{\text{.}}$

Torej so trije vektorji

$\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\\mathbf {0} \\-7\\\mathbf {1} \\\mathbf {0} \end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\\mathbf {0} \\9\\\mathbf {0} \\\mathbf {1} \end{array}}\right]$

baza ničelnega prostora za A.

Nehomogene enačbe

Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:

$\mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {b}}\;\;\;\;\;\;{\text{ali}}\;\;\;\;\;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja

$\mathbf {A} ({\textbf {u}}-{\textbf {v}})=\mathbf {A} {\textbf {u}}-\mathbf {A} {\textbf {v}}={\textbf {b}}-{\textbf {b}}={\textbf {0}}\,$

To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A.

Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja

$\left\{{\textbf {v}}+{\textbf {x}}\,:\,{\textbf {x}}\in {\text{Null}}(\mathbf {A} )\,\right\}{\text{,}}$

kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b. Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v.

Glej tudi

• matrika
• Jedro (algebra)
• evklidski podprostor