Polpolieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Hemipolieder)
Skoči na: navigacija, iskanje

Polpolieder (tudi hemipolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te pol (»hemi«) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona »hemi«.[1]

Predpona »hemi« se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je n. pr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.

Wythoffov simbol in slika oglišč[uredi | uredi kodo]

Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.

Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:

Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3/2 3 ǀ 2
(3.4.3/2.4)
(p/q = 3, r = 2)
Octahemioctahedron.png
oktahemioktaeder
3/2 3 ǀ 3
(3.6.3/2.6)
(p/q = 3, r = 3)
Small icosihemidodecahedron.png
mali ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5
(3.10.3/2.10)
(p/q = 3, r = 5)
Great icosihemidodecahedron.png
veliki ikozihemidodekaeder
3/2 3 ǀ 5/3
(3.10/3.3/2.10/3)
(p/q = 3, r = 5/3)
Small dodecahemicosahedron.png
mali dodekahemiikozaeder
5/3 5/2 ǀ 3
(5/2.6.5/3.6)
(p/q = 5/2, r = 3)
  Cubohemioctahedron.png
kubohemioktaeder
4/3 4 ǀ 3
(4.6.4/3.6)
(p/q = 4, r = 3)
Small dodecahemidodecahedron.png
mali dodekahemidodekaeder
5/4 5 ǀ 5
(5.10.5/4.10)
(p/q = 5, r = 5)
Great dodecahemidodecahedron.png
veliki dodecahemidodecahedron
5/3 5/2 ǀ 5/3
(5/2.10/3.5/3.10/3)
(p/q = 5/2, r = 5/3)
Great dodecahemicosahedron.png
veliki dodekahemiikozaeder
5/4 5 ǀ 3
(5.6.5/4.6)
(p/q = 5, r = 3)

Orientabilnost[uredi | uredi kodo]

Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali polpoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.

Dualna telesa polpoliedrov[uredi | uredi kodo]

Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.

Obstoja devet takšnih dualov:

Tetrahemihexacron.png Hexahemioctacron.png Small dodecahemidodecacron.png Great dodecahemidodecacron.png Small dodecahemicosacron.png
tetrahemiheksakron
oktahemioktakron
in heksahemioktakron
mali ikozihemidodekakron
in mali dodekahemidodekakron
veliki dodekahemidodekakron
in veliki ikozihemidodekakron
veliki dodekahemiikozakron
in mali dodekahemiikozakron
3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem

Odnosi s kvazipravilnimi poliedri[uredi | uredi kodo]

Polpoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo polstranske ploskve polpoliedra. Tako se lahko polpolieder dobi iz kvazipravilnih poliedrov tako, da se zavrže m- in n-kotnike in se potem vpelje polstranske ploskve. Ker se je zavrglo m- in n-kotnike, se lahko vsakega od dveh polpoliedrov dobi iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa se ne da narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne polstranske ploskve. [1]

Ker imajo polpoliedri tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okrog vsakega oglišča, se jih obravnava tudi kot kvazipravilne.[1]

Kvazipravilni poliedri
m.n.m.n
polstranske ploskve
(h-kotniki)
polpoliedri z m-kotniki uprabljeni z
m.h.m/m - 1.h
polpolieder z n-kotniki uporabljen z
n.h.n/n - 1.h
Uniform polyhedron-33-t1.png
tetratetraeder
3.3.3.3
m = 3, n = 3
Octahedron equator.png
kvadrati
{4}
 
Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
Tetrahemihexahedron.png
tetrahemiheksaeder
3.4.3/2.4
 
Cuboctahedron.png
kubooktaeder
3.4.3.4
m = 3, n = 4
Cuboctahedron equator.png
šestkotniki
{6}
 
Cubohemioctahedron.png
kubohemioktaeder
4.6.4/3.6
 
Octahemioctahedron.png
oktahemioktaeder
3.6.3/2.6
 
Icosidodecahedron.png
ikozidodekaeder
3.5.3.5
m = 3, n = 5
Icosidodecahedron equator.png
desetkotniki
{10}
 
Small dodecahemidodecahedron.png
mali dodekahemidodekaeder
5.10.5/4.10
 
Small icosihemidodecahedron.png
mali ikozihemidodekaeder
3.10.3/2.10
 
Dodecadodecahedron.png
dodekadodekaeder
5.5/2.5.5/2
m = 5, n = 5/2
Dodecadodecahedron equator.png
šestkotniki
{6}
 
Small dodecahemicosahedron.png
mali dodekahemikozaeder
5/2.6.5/3.6
 
Great dodecahemicosahedron.png
veliki dodekahemiikozaeder
5.6.5/4.6
 
Great icosidodecahedron.png
veliki ikozidodekaeder
3.5/2.3.5/2
m = 3, n = 5/2
Great icosidodecahedron equator.png
dekagrami
{10/3}
 
Great dodecahemidodecahedron.png
veliki dodekahemidodekaeder
5/2.10/3.5/3.10/3
 
Great icosihemidodecahedron.png
veliki ikozihemidodekaeder
3.10/3.3/2.10/3
 

Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). "Quasiregular Polyhedra". Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno dne 6. maj 2012. 
  2. ^ (Wenninger 2003, str. 101)