Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Gudermannova funkcija z asimptotama (v modri barvi) y = ±π/2 .
Gudermannova funkcija (oznaka
) povezuje trigonometrične in hiperbolične funkcije brez uporabe kompleksnih števil.
Imenuje se po nemškem matematiku Chrisophu Gudermannu (1798 – 1852).
Določena je z
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {gd}}\,x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\[8pt]&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\mathrm {arctan} \left(\sinh x\right)\\[8pt]&=2\arctan \left[\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan(e^{x})-{\tfrac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cb2cfcb6dc698ebbeba32b192343fbea64d3eb)
Za Gudermannovo funkcijo veljajo naslednje zveze
.
Inverzna Gudermannova funkcija.
Inverzna funkcija Gudermannove funkcije je določena na intervalu
.
Odvod Gudermannove funkcije je
.