Gelfond-Schneiderjeva konstanta

Ne zamenjajte za Gelfondova konstanta.

Gelfond-Schneiderjeva konstanta ali Hilbertovo število je v matematiki konstanta, definirana kot število 2 na potenco njegovega kvadratnega korena: (OEIS A007507)

$2^{\sqrt {2}}=2,66514\ 41426\ 90225\ 18865\ 02972\ 49873\ 13984\ 82742\ 11313\ \ldots \!\,.$

Leta 1930 je Rodion Osijevič Kuzmin dokazal da je konstanta transcendentno število. Aleksander Osipovič Gelfond (1906–1968) in Theodor Schneider (1911–1988) sta leta 1934 neodvisno dokazala širši Gelfond-Schneiderjev izrek, ki je razrešil del Hilbertovega sedmega problema: ali je število oblike $a^{b}\!\,$ transcendentno, za algebrski $a\neq \{0,1\}\!\,$ in iraconalni algebrski $b\!\,$, opisan spodaj.

Značilnosti

Kvadratni koren Gelfond-Schneiderjeve konstante je transcendentno število: (OEIS A078333)

${\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1,63252\ 69194\ 38152\ 84477\ 34953\ 81024\ 71960\ 20791\ 08857\ \ldots \!\,.$

S to konstanto se lahko dokaže, da »je iracionalno število na iracionalno potenco lahko racionalno«, tudi brez predhodnega dokaza njegove transcendence. Dokaz je naslednji: ali je število ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\!\,$ racionalno, kar dokazuje izrek, ali je iracionalno (kot se izkaže da je), in potem je:

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2\!\,$

iracionalno na iracionalno potenco, ki je racionalno, kar dokazuje izrek. Dokaz ni konstruktiven, saj ne pove kateri od obeh primerov je pravilen, vendar je preprostejši od Kuzminovega dokaza.

Hilbertov sedmi problem

Del od Hilbertovega sedmega problema, postavljenega leta 1900, je bil dokazati ali najti protiprimer za trditev, da je število oblike $a^{b}\!\,$ vedno transcendentno za algebrski $a\neq \{0,1\}\!\,$ in iracionalni algebrski $b\!\,$. V nagovoru je navedel dva eksplicitna primera, eden od njiju je bila Gelfond-Schneiderjeva konstanta $2^{\sqrt {2}}\!\,$.

David Hilbert je imel leta 1919 predavanje o teoriji števil in dovoril o treh domnevah: Riemannovi domnevi, Fermatovem velikem izreku in transcendentnosti števila $2^{\sqrt {2}}\!\,$. Publiki je omenil, da nihče v dvorani ne bo živel dovolj dolgo, da bo videl dokaz tega rezultata. Toda dokaz o transcendenci tega števila je objavil Kuzmin leta 1930, še precej v času Hilbertovega življenja. Kuzmin je namreč dokazal primer, ko je eksponent $b\!\,$ realno kvadratno iracionalno število, ki sta ga kasneje Gelfond in Schneider razširila na poljubno algebrsko iracionalno število $b\!\,$.

Glej tudi

• Gelfondova konstanta

Viri

• Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996), What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, str. 107
• Gelfond, Aleksander Osipovič (1934), »Sur le septième Problème de Hilbert«, Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII (4): 623–634, JFM 60.0164.01
• Hilbert, David, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920
• Jarden, D. (1953), »Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational«, Scripta Mathematica, 19: 229
• Jones, J. P.; Toporowski, S. (1973), »Irrational numbers«, American Mathematical Monthly, 80 (4): 423–424, doi:10.2307/2319091, ISSN 0002-9890, JSTOR 2319091, MR 0314775
• Kuzmin, Rodion Osijevič (1930), »On a new class of transcendental numbers«, Izvestija Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem., 7: 585–597
• Schneider, Theodor (1934), »Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen.«, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelle), 172: 65–69, ISSN 0075-4102, Zbl 0010.10501

Nadaljnje branje

• Ribenboim, Paulo (2000), My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory, (Universitext), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98911-0, Zbl 0947.11001
• Tijdeman, Robert (1976), »On the Gel'fond–Baker method and its applications«, v Browder, Felix Earl (ur.), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics), zv. XXVIII.1, Ameriško matematično društvo, str. 241–268, ISBN 0-8218-1428-1, Zbl 0341.10026