Fordov krog

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Fordovi krogi. Krog je vložen v vsak okrajšani ulomek. Tu so prikazani krogi za ulomke 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. Vsak krog se bo dotikal, vendar ne bo sekal, premice in sosednjih krogov. Ulomki z istim imenovalcem imajo kroge iste velikosti.

Fordov krog je v matematiki krog s središčem v (p/q, 1/(2q2)) in polmerom 1/(2q2), kjer je p/q okrajšani ulomek - ulomek, kjer sta p in q tuji celi števili.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Fordovi krogi se imenujejo po ameriškem matematiku Lesterju Randolphu Fordu starejšem, ki jih je opisal leta 1938 v članku v reviji American Mathematical Monthly, letnik 45, številka 9, strani 586-601.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Fordov krog povezan z ulomkom p/q označimo s C[p/q] ali C[p, q]. Obstaja Fordov krog za vsako racionalno število. Poleg tega premico y = 1 smatramo za Fordov krog - lahko si jo mislimo kot Fordov krog povezan z neskončnostjo, ko je p = 1, q = 0.

Dva različna Fordova kroga sta ločena ali se dotikata. Dva Fordova kroga se nikoli ne sekata, čeprav obstaja Fordov krog, ki se dotika osi x v vsaki točki z racionalnima koordinatama. Če je p/q med 0 in 1, so Fordovi krogi, ki se dotikajo C[p/q], natančno tisti, ki so povezani s sosednjimi ulomki p/q v kakšnem Fareyjevem zaporedju.

Na Fordove kroge lahko gledamo tudi kot na krivulje v kompleksni ravnini. Modularna grupa transformacij kompleksne ravnine včrtuje Fordove kroge v druge Fordove kroge.

Če prevedemo zgornjo polovico kompleksne ravnine na model hiperbolične ravnine (Poincaréjev model polravnine), lahko imamo Fordove kroge za pokritje hiperbolične ravnine. Dva poljubna Fordova kroga sta v hiperbolični geometriji kongruentna. Če se Fordova kroga C[p/q] in C[r/s] dotikata, potem je polkrog, ki povezuje točki (p/q, 0) in (r/s, 0) in je pravokoten na os x, hiperbolična premica, ki tudi poteka skozi točko, kjer se kroga dotikata.

Fordovi krogi so tudi podmnožica krogov v Apolonijevem tesnilu, fraktalu, ki ga tvorita premici y = 0 in y = 1 ter krog C[0/1].

Glej tudi[uredi | uredi kodo]